（树状数组）区间修改，区间查询
前言
某5机房最最最弱的菜鸡，在gm突击测验树状数组版题的时候，居然忘记了如何打区间修改，区间查询（出生不带脑子名副其实）
然后他抱着疑问的心态打开了自己之前关于树状数组的blog，发现他之前写了个什么玩意
再仔细回想了一下思想发现自己并没有真正理解，于是也就有了为什么暑假学的东东现在还写blog。毕竟学习不求甚解是不可取的（突然讲起了大道理）
题目
给定数列 $a[1],a[2], \ldots , a[n] $，你需要依次进行 个操作，操作有两类：
- 1 l r x：给定 \(l, r, x\)，对于所有 \(i /in [l, r]\)，将 \(a[i]\) 加上 \(x\)（换言之，将 $a[l],a[l + 1], \ldots , a[r] $ 分别加上 \(x\)）；
- 2 l r：给定\(l, r\) ，求\(\sum_{i = l}^{r} a[i]\) 的值（换言之，求\(a[l]+a[l + 1]+ \ldots + a[r]\) 的值）。
思路&&推导过程
在有了前置知识（丝毫不心虚），我们就可以知道，如何单点修改，区间查询和 如何区间修改，单点查询了。
在区间修改，单点查询中知道了我们可以用差分来实现区间修改。而第\(i\)个数用差分表示应该是\(sum[1] + sum[2] +\ldots + sum[i]\)
那么第1个数到第\(i\)个数， 该如何用一串差分表示呢？
\((sum[1]) + (sum[1] + sum[2]) + \ldots + (sum[1] + sum[2] +\ldots + sum[i])\)
于是乎，用笔者那本就不存在的脑子想了一想：
我们就枚举每一个数再求\(sum\)不香吗？但笔者立马否定了这个想法，毕竟\(O(n \times n \times \log_{n})\)真的很惊悚。。。
我们再回到这个式子
\((sum[1]) + (sum[1] + sum[2]) + \ldots + (sum[1] + sum[2] +\ldots + sum[i])\)
\(= sum[1] * i + sum[2] * (i - 1) + \ldots + sum[i] * (i - i + 1)\)
\(= (sum[1] + sum[2] +\ldots + sum[i]) \times i - ((sum[1] \times (1 - 1) + (sum[1] \times (1 - 1) + \ldots + sum[i] \times (i - 1)\)
于是大师我悟了！:
\((sum[1] + sum[2] +\ldots + sum[i])\) 不就是用区间修改区间查询就可以解决了吗？
而\((sum[1] \times (1 - 1) + (sum[1] \times (1 - 1) + \ldots + sum[i] \times (i - 1)\)我们就用另一个\(Update\)来存就行了
于是代码就很快乐的打出来了！（改改就能用）
AC代码
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 1e6 + 5;
int n, q;
int a[maxn];
int sum[maxn];
long long BIT[maxn], BIT2[maxn];
int Lowbit(int a){
return a & (-a);
}
void Update(int x, int k){
for(int i = k; i <= n; i += Lowbit(i)){
BIT[i] += x;
}
}
void Update2(int x, int k){
for(int i = k; i <= n; i += Lowbit(i)){
BIT2[i] += (long long)x * (k - 1);
}
}
long long Sum(int x){
long long ans = 0;
for(int i = x; i > 0; i -= Lowbit(i)){
ans += BIT[i];
}
return ans;
}
long long Sum2(int x){
long long ans = 0;
for(int i = x; i > 0; i -= Lowbit(i)){
ans += BIT2[i];
}
return ans;
}
int main() {
scanf("%d %d", &n, &q);
for(int i = 1; i <= n; i ++){
scanf("%d", &a[i]);
sum[i] = a[i] - a[i - 1];
Update(sum[i], i);
Update2(sum[i], i);
}
for(int i = 1; i <= q; i ++){
int flag;
scanf("%d", &flag);
if(flag == 1){
int x, l, r;
scanf("%d %d %d", &l, &r, &x);
Update(x, l);
Update(-x, r + 1);
Update2(x, l);
Update2(-x, r + 1);
}
else{
int l, r;
scanf("%d %d", &l, &r);
printf("%lld\n", (r * Sum(r) - Sum2(r)) - ((l - 1) * Sum(l - 1) - Sum2(l - 1)));
}
}
return 0;
}
