快速幂算法

快速幂算法

快速幂算法是一种高效的计算幂的方法，它的核心思想是将指数分解为二进制形式，然后通过迭代计算得到结果。本文将详细介绍快速幂算法的原理、流程以及C++代码实现，并给出一个例题及题解。

原理

快速幂算法的基本思想是将指数表示为二进制形式，然后通过迭代计算得到结果。具体步骤如下：

1. 将指数转换为二进制形式。
2. 从最低位开始，如果当前位为1,则将结果乘以底数的当前幂次方；如果当前位为0,则不进行任何操作。
3. 将底数的当前幂次方左移一位，继续处理下一位。
4. 当所有位都处理完毕后，返回结果。

流程

下面我们来看一下快速幂算法的具体流程：

1. 首先，将指数转换为二进制形式。例如，对于指数a^b,可以将其表示为a^(b * 2^n),其中n是二进制表示中最高位的位置。
2. 从最低位开始，遍历二进制形式的每一位。对于每一位，如果当前位为1,则将结果乘以底数的当前幂次方；如果当前位为0,则不进行任何操作。这一步的目的是利用幂的性质a^(b * 2^n) = (a^b)^2^n简化计算过程。
3. 将底数的当前幂次方左移一位，继续处理下一位。这一步的目的是将指数中的每一位都考虑进去。
4. 当所有位都处理完毕后，返回结果。

C++代码实现

下面我们来看一下快速幂算法的C++代码实现：

//a^b
//求a的b次方对p取模的值，小于10^9
#include<bits/stdc++.h>
#define reg register
using namespace std;
inline int read(){
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-')	f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}
inline void write(int x){
	if(x<0){
		putchar('-');
		x=-x;
	}
	if(x>9)	write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
	return ;
}
// 定义一个函数，用于计算 a 的 b 次方对 p 取模的值，结果小于 10^9
int power(int a, int b, int p){
	int ans=1%p; // 初始化答案为 1 对 p 取模的结果
	for(;b;b>>=1){ // 当 b 不为 0 时，执行循环
		if(b&1) ans=(long long ) ans*a%p; // 如果 b 是奇数，将 ans 乘以 a 并对 p 取模
		a=(long long ) a*a%p; // 将 a 平方并对 p 取模
	}
	return ans; // 返回答案
}

int main(){
	int a=read(),b=read(),p=read();
	printf("%d^%d mod %d=%d",a,b,p,power(a,b,p));// 调用 power 函数，并将结果写入输出
	return 0; // 程序正常结束
}

例题及题解

题目：计算a^b,其中a和b都是整数，且1 <= a <= 100,1 <= b <= 100。请编写一个程序，使用快速幂算法计算a^b的结果，并输出结果。

解答：首先，我们需要将指数转换为二进制形式。然后，根据快速幂算法的原理，从最低位开始遍历二进制形式的每一位，计算结果。最后，输出结果即可。