位运算详解

0*01 位运算

补码

• 在补码下每个数值都有唯一的表示方式
• 发生算数溢出时，32位无符号整数相当于自动对2^32取模
• 0*3F 3F 3F 3F 满足一下两个条件
  • 整数的两倍不超过int能表示的最大整数
  • 整数的每个字节都是相同的

移位运算

左移

​ 在二进制下把数字同时向左移动，低位以0填充，高位越界后舍弃

\[1<<n=2^n, n<<1=2n \]

右移

​ 在二进制下把数字同时向右移动，高位以符号位填充，低位越界后舍弃

\[n>>1=Floor(n/2.0) \]

例题

1. 求a^{b%p的值，1<=a,b,p<=10}9

   枚举二进制下每位，没了……

   #include<bits/stdc++.h>//a^b%p
   
   using namespace std;
   int a,b,p;
   int power(){    
       int ans=1%p;
       for(;b;b>>=1){  //取遍所有数位
           if(b&1) ans=(long long)ans*a%p; //取当前最后一位
           a=(long long)a*a%p;
       }
       return ans;
   }
   int main(){
       scanf("%d%d%d",&a,&b,&p);
       printf("%d",power());
       return 0;
   }
   

2. 求a*b%p的值，1<=a,b,p<=10^18

   更神奇的算法……时间复杂度O(n)

   #include<bits/stdc++.h> //时间复杂度O(n)的神奇算法  a*b%p
   using namespace std;
   typedef unsigned long long ull;
   ull a,b,p;
   ull mul(){
       a%=p,b%=p;
       ull c=(long double)a*b/p;
       ull x=a*b,y=c*p;
       long long ans=(long long)(x%p)-(long long )(y%p );
       if(ans<0)   ans+=p;
       return ans;
   }
   int main(){
       scanf("%lld %lld %lld",&a,&b,&p);
       printf("%lld",mul());
       return 0;
   }