质数判断与欧拉筛（线性筛）

质数定义

质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

在整个自然数集合中，质数的数量不多，分布比较稀疏，对于一个足够大的整数\(N\)，不超过\(N\) 的质数大约有\(N/lnN\)个，即每\(lnN\)个数中大约有1个质数。

质数的判定

试除法

概述

我们只需要扫描2~\(sqrt(N)\)之间的所有整数，依次检查它们是否能整除\(N\)，需要特判0与1两个整数
该算法时间复杂度为\(O(sqrt(N))\)

模板代码

bool isPrime(int n){
	if(n<2)	return 0;
	for(int i=2;i<=sqrt(n);i++){
		if(n%i==0)	return 0;
	}
	return 1;
}

质数的筛选

埃氏筛

由于其时间复杂度并非最小，在此不做介绍

欧拉筛（线性筛法）

概述

线性筛法通过“从大到小累积质因子”的方式标记每个合数

模板代码

int n,Prime[100010],cnt;
bool isPrime[100010];
void check(){
	memset(isPrime,1,sizeof(isPrime));
	isPrime[1]=0;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(isPrime[i])	Prime[++cnt]=i;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*Prime[j]<=n;j++){
			isPrime[i*Prime[j]]=0;
			if(!i%Prime[j])	break;
		}
	}
}

例题

P1304 哥德巴赫猜想
P1075 [NOIP2012 普及组] 质因数分解
P1579 哥德巴赫猜想（升级版）
P1036 [NOIP2002 普及组] 选数
P2626 斐波那契数列（升级版）