Topcoder 10055 CactusAutomorphisms
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Topcoder 10055 CactusAutomorphisms
题目大意
给你一个 \(n\) 个点的仙人掌，求它的自同构数。
\(1\leq n\leq 200\)
思路
自同构可以直观理解为仙人掌外面有一圈轮廓，我们把里面的仙人掌拿下来，换个姿势再塞到轮廓里面。
自同构类型的问题在树型结构上会比较好解决，于是考虑对仙人掌建出圆方树，即树上原来的点是圆点，对于每个环建一个方点，环上的点与新点连边，然后把原来环上的边删去，不过本来其它的边中间也是要建方点的，在这里没必要建。
一棵树可以选择很多根，但是至多只有 \(2\) 个重心，于是考虑把重心做根，这样两棵同构的树的根就不会发生变化，适合子树递归解决问题，当树有 \(2\) 个重心时（它们一定是相邻的），在两点间新建一个圆点，这样重心就变成中间的圆点了。
接下来子树递归解决问题，当前点是圆点时，其儿子可以任意排序，于是我们把同构的子树放一组，子树的答案之积乘以每一组大小的阶乘 即为当前子树的答案。当前点是方点时，由于方点的儿子曾经是在环上的，是有序的，所以只有正反方向放两种方案，要判断两者是否同构，另外如果目前是在根处，没有父亲，则还可以旋转环，\(O(n)\) 旋转一圈检查是否同构即可。
对于判断两个有根树是否同构，可以使用树哈希，考虑树 \(dfs\) 的过程，一个点入栈记为 \(1\)，出栈记为 \(0\)，则每棵不同构的树都对应了唯一的一个 \(01\) 序列，作为二进制取模存起来即可。注意到这里做的是圆方树，圆点和方点有别，所以方点入栈另记为 \(2\)，圆方点出栈都为 \(0\)，三进制储存。
在计算当前点所辖子树的哈希值时，圆点的子树无序，可以将它们的哈希值从小到大排序后拼接起来，然后开头加入一个 \(1\)，尾部加入一个 \(0\)，方点的子树可以正反放，可以分别计算两种方向的哈希值，取较小的，开头加 \(2\) 尾部加 \(0\) 即可。
时间复杂度：\(O(n\log n)\)
实现细节
- 当前点是方点时，儿子们正反放是相当于环的翻转的，所以必须连续，如果父亲在邻接表的中间，需要将父亲前面的节点接到后面节点的尾部，这样顺序才是正确的。
- 细节比较多，但好像没什么别的标志性的了。吐槽一句这个题一点都不像 Topcoder 的风格。
Code
边拍边调写出来的，有点丑。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<stack>
#include<algorithm>
#define mem(a,b) memset(a, b, sizeof(a))
#define rep(i,a,b) for(int i = (a); i <= (b); i++)
#define per(i,b,a) for(int i = (b); i >= (a); i--)
#define N 820
#define ll long long
#define mod 1000000003
using namespace std;
class CactusAutomorphisms{
public:
int n;
int head[N], to[4*N], nxt[4*N];
int low[N], dfn[N], c[N], siz[N];
int cnt, scc, num;
bool square[N];
stack<int> s;
vector<int> center;
int dc_u, dc_v; // double centers
ll hash[N], ans[N], pre[N], suf[N];
ll fact[N], pow[N];
void init(){ mem(head, -1), cnt = -1; }
void add_e(int a, int b, bool id){
nxt[++cnt] = head[a], head[a] = cnt, to[cnt] = b;
if(id) add_e(b, a, 0);
}
void tarjan(int x, int fa){
dfn[x] = low[x] = ++num;
s.push(x);
for(int i = head[x]; ~i; i = nxt[i]){
int y = to[i];
if(!dfn[y]){
tarjan(y, x);
low[x] = min(low[x], low[y]);
} else if(y != fa) low[x] = min(low[x], dfn[y]);
}
if(low[x] == dfn[x]){
int y; scc++;
bool circ = s.top() != x;
if(circ) n++, square[n] = true;
do{
y = s.top(); s.pop();
c[y] = scc;
if(circ) add_e(y, n, 1);
} while(y != x);
}
}
void dfs(int x, int fa){
siz[x] = 1;
int mx = 0;
for(int i = head[x]; ~i; i = nxt[i]){
int y = to[i];
if(y == fa || (c[y] == c[x])) continue;
dfs(y, x);
siz[x] += siz[y], mx = max(mx, siz[y]);
}
mx = max(mx, n-siz[x]);
if(mx <= n/2) center.push_back(x);
}
int count(vector<int> subt, ll standard){
int cnt = 0, m = subt.size();
pre[0] = hash[subt[0]];
rep(i,1,m-1) pre[i] = (pre[i-1] * pow[2*siz[subt[i]]] + hash[subt[i]]) % mod;
int tot = 0;
per(i,m-1,0) suf[i] = (hash[subt[i]] * pow[tot] + suf[i+1]) % mod, tot += 2*siz[subt[i]];
tot = 2*n-2;
cnt += pre[m-1] == standard;
per(i,m-1,1){
tot -= 2*siz[subt[i]];
ll val = (suf[i] * pow[tot] + pre[i-1]) % mod;
if(val == standard) cnt++;
}
return cnt;
}
void solve_for_square_root(int x, vector<int> subt){
int cnt = 1, m = subt.size();
pre[0] = hash[subt[0]];
rep(i,1,m-1) pre[i] = (pre[i-1] * pow[2*siz[subt[i]]] + hash[subt[i]]) % mod;
ll standard = pre[m-1];
int t = count(subt, standard);
reverse(subt.begin(), subt.end()), t += count(subt, standard);
(ans[x] *= t) %= mod;
}
bool solve(int x, int fa){
vector<int> subt, bef;
bool flag = true;
for(int i = head[x]; ~i; i = nxt[i]){
int y = to[i];
if(c[y] == c[x]) continue;
if(x == dc_u || x == dc_v){
if(y == fa) continue;
if(x+y == dc_u+dc_v){ flag = false; continue; }
} else if(y == fa){ flag = false; continue;}
if(flag) bef.push_back(y);
else subt.push_back(y);
}
for(int y : bef) subt.push_back(y);
bef.clear();
siz[x] = ans[x] = 1;
for(int y : subt) if(solve(y, x)){
bef.push_back(y);
(ans[x] *= ans[y]) %= mod;
siz[x] += siz[y];
}
subt = bef;
if(!square[x]){
sort(subt.begin(), subt.end(), [&] (int a, int b){ return hash[a] < hash[b]; });
hash[x] = 1;
} else hash[x] = 2;
for(int y : subt) hash[x] = (hash[x] * pow[siz[y]*2] + hash[y]) % mod;
(hash[x] *= 3) %= mod;
if(!square[x]){
rep(i,0,(int)subt.size()-1){
int cnt = 0;
ll val = hash[subt[i]];
while(i < subt.size() && hash[subt[i]] == val) i++, cnt++; i--;
(ans[x] *= fact[cnt]) %= mod;
}
} else if(fa){
vector<int> rev = subt;
reverse(rev.begin(), rev.end());
bool flag = true;
ll tmp = 2;
rep(i,0,(int)rev.size()-1){
flag &= (hash[rev[i]] == hash[subt[i]]);
tmp = (tmp * pow[siz[rev[i]]*2] + hash[rev[i]]) % mod;
}
(tmp *= 3) %= mod, hash[x] = min(hash[x], tmp);
if(flag) (ans[x] *= 2) %= mod;
} else solve_for_square_root(x, subt);
return true;
}
int trans(string s){
int num = 0;
for(char c : s) num = num*10 + c-'0';
return num;
}
void get_edges(string s){
string tmp;
init();
rep(i,0,(int)s.size()-1){
tmp = "";
while(i < s.size() && s[i] != ',') tmp += s[i++];
int j = 0;
while(tmp[j] != ' ') j++;
int u = trans(tmp.substr(0, j)), v = trans(tmp.substr(j+1, tmp.size()-j-1));
add_e(u, v, 1);
}
}
int count(int n, vector<string> edges){
this->n = n;
string s = "";
for(string t : edges) s += t;
get_edges(s);
tarjan(1, 0);
dfs(1, 0);
int root;
if(center.size() > 1){
dc_u = center[0], dc_v = center[1];
add_e(dc_u, ++this->n, 1), add_e(this->n, dc_v, 1);
root = this->n;
c[root] = -1;
} else root = center[0];
pow[0] = fact[0] = 1;
rep(i,1,2*this->n) pow[i] = (pow[i-1] * 3) % mod, fact[i] = (fact[i-1] * i) % mod;
solve(root, 0);
return (int)ans[root];
}
} solve;
int main(){
int n, m;
string s;
vector<string> edges;
cin>>n>>m;
getline(cin, s);
rep(i,1,m) getline(cin, s), edges.push_back(s);
cout<< solve.count(n, edges) <<endl;
return 0;
}
