POJ3613 Cow Relays

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题目大意：
一张图有 \(T\) 条边，边两个端点的序号 \(\in [1,1000]\) ，求起点 \(S\) 到 \(E\) 恰好经过 \(N\) 条边的最短路。
\(1\leq T\leq 100\) ， \(1\leq N\leq 1000000\)

思路：
经典题，点的数量最多为 \(2T\) ，先离散化，考虑矩阵乘法：
设 \(M*M\) 的矩阵 \(A^k\) ， \((A^k)[i,j]\) 为从 \(i\) 到 \(j\) 恰好经过 \(k\) 条边的最短路长度，那么应该有：

\[(A^{a+b})[i,j]=\min_{1\leq k\leq M}\{(A^a)[i,k]+(A^b)[k,j]\} \]

其中 \(A^1\) 就是邻接矩阵， \((A^N)[s][e]\) 即为答案。
注意到这个过程满足结合律，其实就是将加法改为取 \(min\) 的矩阵乘法，那么我们就可以矩阵快速幂了，时间复杂度 \(O(T^3logN)\) 。

细节：

• 矩阵定义时可以在外面套一个结构体，这样就不用纠结数组指针之类的问题了，可以直接引用和复制。

Code：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cstring>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define per(i,a,b) for(int i=b;i>=a;i--)
#define lb lower_bound
#define T 205
#define hash Hash
#define Inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
struct edge{
    int len,u,v;
}E[T];
struct matrix{
    int a[T][T];
    void init(){
        rep(i,0,T-1)rep(j,0,T-1)a[i][j]=Inf;
    }
};
matrix mat,opt,c;
int n,t,s,e;
int hash[T];
void mul(matrix &a,matrix b){
    c.init();
    rep(i,0,t-1)rep(j,0,t-1)rep(k,0,t-1)
        c.a[i][j]=min(c.a[i][j],a.a[i][k]+b.a[k][j]);
    a=c;
}
int main(){
    cin>>n>>t>>s>>e;
    rep(i,0,t-1){
        cin>>E[i].len>>E[i].u>>E[i].v;
        hash[2*i]=E[i].u,hash[2*i+1]=E[i].v;
    }
    sort(hash,hash+2*t);
    int m=unique(hash,hash+2*t)-hash;
    opt.init();
    rep(i,0,t-1){
        int u=lb(hash,hash+m,E[i].u)-hash;
        int v=lb(hash,hash+m,E[i].v)-hash;
        opt.a[u][v]=opt.a[v][u]=E[i].len;
    }
    mat=opt;
    n--;
    for(;n;n>>=1){
        if(n&1)mul(mat,opt);
        mul(opt,opt);
    }
    s=lb(hash,hash+m,s)-hash,e=lb(hash,hash+m,e)-hash;
    cout<<mat.a[s][e];
    return 0;
}