洛谷P1912 [NOI2009]诗人小G
题目链接：P1912 [NOI2009]诗人小G
题目大意：
给定 \(N\) 句诗和行标准长度 \(L\) ，定义一行长度为 \(S\) 的诗（包含空格等符号的总个数）的不协调度为 \(|L-S|^P\) ，要求输出一种排版方案，使得每句诗都完整地在一行上，句与句之间以空格分隔，并且所有行的不协调度的和最小。
\(N\leq 10^5\) , \(L\leq3*10^6\) , \(P\leq10\) ,每句诗的字符数 \(\leq30\)
思路：
令 \(F[i]\) 为前 \(i\) 句诗的最小不协调度，\(sum[i]\) 为前 \(i\) 句诗的长度和，则有朴素 \(O(N^2)\) DP:
（ \(i-j-1\) 为空格个数），考虑对DP进行优化，记 \(val(j,i)=|sum[i]-sum[j]+i-j-1-L|^P\) ，观察这个式子有没有特殊性质，将 \(val(j,i)\) 写成 \(|(sum[i]+i)-(sum[j]+j)-1-L|\) ，\(sum[i]+i\) 是一个关于 \(i\) 单调递增的式子，由于 \(val(j,i)\) 有不定的高次指数 \(P\) ，不适合用单调队列或斜率优化，考虑 \(val(i,j)\) 是否满足四边形不等式：
记 \(u=val(j,i),v=val(j+1,i)\) ，由于前缀和的递推关系，记 \(a[i]\) 为第 \(i\) 句诗的长度，不等式可转化为
由于 \(u>v\)，该式等价于证对于任意常数 \(c\) ，函数 \(f(x)=|x|^P-|x-c|^P\) 单调递减，这个式子可以通过导数很容易地证明（其实是我不想写了），放到Geogebra上可以感性地理解一下其正确性
知道 \(val(j,i)\) 满足四边形不等式后，我们就可以得到 \(F[x]\) 具有决策单调性，用队列维护决策三元组，能够 \(O(NlogN)\) 解决本题。
实现细节：
- 题目要求在答案超过 \(10^{18}\) 的时候输出"Too hard to arrange"，由于这个值long long也可能存不下，\(F\) 数组的类型要开成long double。
- 实现决策单调性DP的时候由于后面要统计方案，队头决策的左端点在被修改后要及时还原，同时插入决策前先判断其左右区间是否合法。
- 这道题我被卡常了，注意输出排版的时候尽量不要用递归，将决策队列处理成分段方式存在数组里后循环输出，另外请手写快速幂，cmath的pow太慢了容易TLE。
- 每一行诗的结尾不要留空格
Code：
#pragma optimize(O3)
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<fstream>
#include<cstring>
#define ll long long
#define ld long double
#define N 100100
#define RG register
using namespace std;
struct choise{
int i,l,r;
}q[N];
ld dp[N],sum[N],L;
int T,n,p,l,r,out[N];
char s[N][35];
void _printf(string s){
int k=s.size();
for(register int i=0;i<k;i++)putchar(s[i]);
}
inline ld qpow(RG ld a,RG int b){
RG ld ret=1;
for(;b;b>>=1){
if(b&1)ret*=a;a*=a;
}
return ret;
}
inline ld val(RG int j,RG int i){
return qpow(abs(sum[i]-sum[j]+i-j-1-L),p);
}
inline bool better(int a,int b,int i){
return dp[a]+val(a,i)<=dp[b]+val(b,i);
}
inline int binary_search(int l,int r,int a,int b){
RG int L=l,R=r;
while(L<R){
int mid=(L+R)>>1;
if(better(a,b,mid))R=mid;
else L=mid+1;
}
return L;
}
int main(){
int pos,temp;
cin>>T;
while(T--){
cin>>n>>L>>p;
for(int i=0;i<n;i++){
scanf("%s",s[i]);
sum[i+1]=sum[i]+strlen(s[i]);
}
l=r=0,q[0]={0,1,n};
for(int i=1;i<=n;i++){
while(l<=r&&q[l].r<i)l++;
temp=q[l].l,q[l].l=i;
dp[i]=dp[q[l].i]+val(q[l].i,i);
pos=n+1;
while(l<=r&&better(i,q[r].i,q[r].l))pos=q[r--].l;
if(l<=r&&better(i,q[r].i,q[r].r))
pos=binary_search(q[r].l,q[r].r,i,q[r].i);
if(l<=r)q[r].r=pos-1,q[l].l=temp;
if(pos<=n)q[++r]={i,pos,n};
}
if(dp[n]>1e18)cout<<"Too hard to arrange\n";
else{
cout<<(ll)dp[n]<<endl;
int up=r;
temp=0,out[0]=n;
while(out[temp]){
while(up>=0&&q[up].l>out[temp])up--;
out[++temp]=q[up].i;
}
for(int i=temp;i>=1;i--){
for(int j=out[i];j<out[i-1];j++){
_printf(s[j]);
if(j!=out[i-1]-1)putchar(' ');
}
putchar('\n');
}
}
puts("--------------------");
}
return 0;
}
