2025.1

1. LOJ559 ZQC 的迷宫

扶墙走一定走得出传统迷宫。
假设走的不是出口的路，则因为封闭，一定可以绕回来。

猜测一直扶着左侧墙壁走就是本题的一个解。

最多有 \(2nm+n+m\) 个墙，因为方格两两连通且道路唯一，减去 \(nm-1\) 个，所以合法情况有 \(nm+n+m+1\) 个墙。
一直扶着左侧墙壁走，走 \(n+m\) 个，内部的 \(nm-n-m+1\) 最多每个走 \(2\) 次，共 \(2(nm-n-m+1)+n+m=2nm-n-m+2\) 次。
\(l\ge 2nm\ge 2nm-n-m+2\)。
得证。

2. CF19E Fairy

等价于找所有奇环的边的交集。

树上差分。

3. CF412D Giving Awards

求补图的哈密顿路径。

考虑一种神奇的输出顺序。

对于原图上 \(u\to v\)，则 \(v\) 先输出；若 \(u, v\) 之间不存在边，则任意顺序。

这恰可以用 dfs。

4. P4151 最大XOR和路径

先随便找一条 \(1\to n\) 的路径，然后异或上若干 dfs 树上由一条返祖边构成的环的边权异或和，使得结果最大。

5. P1477 假面舞会

最大答案需要是所有环的长度的 \(\gcd\)。最小答案是最大答案的非 \(2\) 的质因子，所以只需要考虑最大答案。

只需要考虑 dfs 树上仅有一条返祖边构成的环。

其他环必然是上述环选出的环的异或。

所以只需要考虑上述环 \(a, b\) 异或出的环 \(c\)，证明 \(c\) 的贡献是多余的。

\(|c| = |a|-|b|\)，而 \(\gcd\) 不变。

得证。

除了环，还有共起点、终点的路径，长度分别为 \(a, b\)，则最大答案需要是 \(a - b\) 的因数。

则最大答案是环、最大答案的 \(\gcd\)。

这个可以建图上建反向负权的边变成环。