矩阵代数
矩阵加法:
矩阵数乘:
共轭转置:
对称矩阵:
线性函数:
线性函数的平移称为仿射变换:
矩阵乘法:
(AB)的第i行是B的第i行的线性组合,第i列是A的第i列的线性组合。
线性方程组就可写为Ax=b的形式:
- AB≠BA
- ArAs=Ar+s
- ArAs=Ar+s
- (Ar)s=Ars
- (AB)T=BTAT
- trace(AB)=trace(BA) trace(ABC)=trace(BCA)=trace(CAB)
分块矩阵乘法同一般矩阵相乘。
矩阵的逆:
矩阵的逆只对方阵有定义。
二维矩阵的逆:
如果A可逆,则线性方程组AX=B有唯一解为X=A-1B,Ax=b为x=A-1b
矩阵的逆存在条件:
矩阵的逆的算法:
复杂度:
矩阵的逆的性质:
矩阵的乘积不会增加矩阵的秩,加法不会减少矩阵的秩。
如果A的微小变化会导致A-1的巨大改变,则为病态制约。
初等矩阵:
定义:
三种初等变换等价于三种初等矩阵,左乘为行变换,右乘为列变换:
当且仅当A可由以上三种初等矩阵的乘积得出时,A可逆。
矩阵等价:
当且仅当rank(A)=rank(B)时,A与B等价。
矩阵与可逆矩阵相乘不会改变秩。