CCCC团体程序设计天梯赛 L2-004 这是二叉搜索树吗？

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题目描述

一棵二叉搜索树可被递归地定义为具有下列性质的二叉树：对于任一结点，

• 其左子树中所有结点的键值小于该结点的键值；
• 其右子树中所有结点的键值大于等于该结点的键值；
• 其左右子树都是二叉搜索树。
  所谓二叉搜索树的“镜像”，即将所有结点的左右子树对换位置后所得到的树。

给定一个整数键值序列，现请你编写程序，判断这是否是对一棵二叉搜索树或其镜像进行前序遍历的结果。

输入格式：
输入的第一行给出正整数 \(N（≤1000）\)。随后一行给出 \(N\) 个整数键值，其间以空格分隔。

输出格式：
如果输入序列是对一棵二叉搜索树或其镜像进行前序遍历的结果，则首先在一行中输出 \(YES\) ，然后在下一行输出该树后序遍历的结果。数字间有 \(1\) 个空格，一行的首尾不得有多余空格。若答案是否，则输出 \(NO\)。

输入样例 1：

7
8 6 5 7 10 8 11

输出样例 1：

YES
5 7 6 8 11 10 8

输入样例 2：

7
8 10 11 8 6 7 5

输出样例 2：

YES
11 8 10 7 5 6 8

输入样例 3：

7
8 6 8 5 10 9 11

输出样例 3：

NO

题目分析

首先，在解决该题前，需要了解什么是树的前序遍历、后序遍历。对于二叉树的前序遍历，就是按 根节点、左子树、右子树的顺序逐步遍历树，后序遍历就是按 左子树、右子树、根节点的顺序逐步遍历树。

题目给出的二叉树的前序遍历，那么根据前序遍历的规定，可以知道第一个一定是根节点，接下来就是左子树的所有结点，最后是右子树的所有结点。因为要满足二叉搜索树的性质，左子树所有键值小于根节点键值，右子树所有键值大于等于根节点键值，所以紧跟的结点应该会小于根节点键值，如果是大于等于根节点键值，那么就是二叉树进行了镜像。所以，我们根据根节点的键值，可以让接下来连续一段键值小于根节点键值，最后一段键值大于等于根节点键值（镜像则相反）。

理清楚规律后，我们思考如何进行编码。可以使用双指针指向每棵子树的首尾结点，先不考虑镜像，那么接下来连续一段都应该小于根节点键值，余下的都应该大于等于根节点键值，用两个指针通过遍历完成指向：左指针从首结点向后遍历，右指针从尾结点向前遍历，如果左指针刚好在右指针的右边一个结点那么就是符合的，否则就不是二叉搜索树的前序遍历结果，具体看代码吧。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <unordered_map>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;

const ll inf = 1e18;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e6 + 10;

int n;
int p[N];
bool flag;
vector<int> res;

void dfs(int l, int r)
{
	if (l > r) return ;
	int tl = l + 1, tr = r;
    // 如果没有镜像
	if (!flag) {
        // 左指针向后遍历满足小于根节点键值，右指针向前遍历满足大于等于根节点键值
		while (tl <= r && p[tl] < p[l]) tl ++;
		while (tr > l && p[tr] >= p[l]) tr --;
	}
	else {
		while (tl <= r && p[tl] >= p[l]) tl ++;
		while (tr > l && p[tr] < p[l]) tr --;
	}
	
    // 如果左指针不是刚好右指针的右边，那么就不是二叉搜索树
	if (tl - tr != 1) return ;
	dfs(l + 1, tr);
	dfs(tl, r);
    // 因为后序遍历刚好是前序遍历的相反操作，只需让根节点最后放入就变为后序遍历
	res.emplace_back(p[l]);
}

void solve()
{
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> p[i];

    // 如果第二个结点的键值大于第一个结点，那么就可能是镜像
    if (p[1] >= p[0]) flag = 1;
	dfs(0, n - 1);
	
    // 存储的后序遍历节点个数不足n，说明这不是二叉搜索树的前序遍历
	if (res.size() != n) cout << "NO";
	else {
		cout << "YES" << '\n';
		for (int i = 0; i < res.size(); i ++) {
			if (i) cout << ' ';
			cout << res[i];
		}
	}
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
	
	int T = 1;
//	cin >> T;
	while (T --) solve();
	return 0;
}