AtCoder Beginner Contest 263 G,Ex

G
如果我们不考虑 $A_{i}=1$ 的情况，即不存在 $1+1=2$ 这样的数对，那么剩下的质数都是奇数，而奇数+偶数=奇数。所以，若我们从 $i$ 连一条边到 $j$ ，当且仅当 $(A_{i}+A_{j})$ 是质数，那么最后形成的图一定是二分图，（所有 $A_{i}$ 为奇数的 $i$ 在一侧，所有 $A_{i}$ 为偶数的在另一侧）跑网络流就可以了。（注意这里同一类数不止一个，所以 $S$ 连向 $i$ 和 $i$ 连向 $T$ 的边流量限制为 $b_{i}$ 而不是 $1$ ）

那么现在如果有一个 $i$ ，满足 $A_{i}=1$ ，我们假设当前它自己和自己匹配了 $k$ 对（ $0\leq k\leq \lfloor \frac{B_{i}}{2}\rfloor$ ），那么将剩下的 $B_{i}-2k$ 加入网络流中，假设当前最大流为 $maxflow$ ，那么我们总共匹配了 $f(k)=(maxflow+k)$ 个数对。我们证明， $f(k)$ 是单峰的。

感性理解：
假设我们从 $A_{i}=1$ 的点 $i$ 向对面连去一些边 $(i,to_{p})$ ，那么最优方案中这些边有的被选择了，有的没有。那么我们一开始肯定将没有匹配的（剩下的） $1$ ，自己和自己匹配，这样能使答案加上 $1$ ；直到最后我们就会选择一些已经考虑的配对，那么此时我们要将两个已经配对的边拆散，组成一个新的配对的边——比如原本我们匹配了 $(1,4)$ 和 $(1,6)$ 两个数对，那么我们现在拆散它们，组成 $(1,1)$ 这样新的一个，容易发现，这样会使答案减少 $1$ 。故我们这个函数一定是一直向上升，到某个最高点后开始向下降。

那么我们三分，计算 $f(k=p1,p2)$ 时的值即可。

https://atcoder.jp/contests/abc263/submissions/33863883

Ex
不难想到要先二分答案 $r$ ，之后问题转化成求有多少个交点在半径为 $r$ 的圆内部。

发现一个结论：
在任意一处破环成链，将所有直线和圆的交点按照顺时针顺序离散化。如果离散化后，直线 $l1$ 和圆的交点位置为 $P1,P2$ ， $l2$ 和圆的交点为 $P3,P4$ 。那么 $l1$ 和 $l2$ 的交点在圆的内部，当且仅当 $P1\leq P3\leq P2\leq P4$ 。