TopCoder 17403 See All Differences

这题和 https://atcoder.jp/contests/abc189/tasks/abc189_f 是相似的。

首先我们设$f(mask,number)$表示考虑若干个数，目前出现的差在$mask$中，最后一个数是$number$时，数列的期望长度。

但是我们发现这样比较难以转移，因为我们不知道转移过来的状态是否是合法的。（比如当你是rolled最后一个数的时候，mask只能包含rolled中出现的差，不能包含其它的数）

那么，我们不妨倒过来考虑——设$f(mask,number)$表示后面的若干个数中（因为数组是可以无限长的，故不存在什么合法不合法的问题），出现的差为mask，最前面的数为number时的答案。

则最终答案就是$f(begin,rolled.back())$，其中$begin$包含了所有不在$rolled$中的差。

于是我们就可以得到转移方程式：

$$f(mask,number)= \frac{1}{D} \sum_{number'=1}^{D} f(mask',number')+1$$

若$ch=|number-number'|$在$mask$中，则$mask'$等于$mask$除去$ch$后的集合；否则$mask'$等于$mask$。（表示之前出现过了）

那么现在有一个问题——$mask'$是有可能等于$mask$的，那转移必将出现循环，该如何解决？

考虑对于每一个$number$，都会得到像上面转移那样的方程，故$D$个不同的$number$就构成了一个方程组。我们对其高斯消元，就可以解出每一个$f(mask,number)$了。

具体的，我们从小到大枚举$mask$（但$f(0,number)=0$是已知的，故$mask$要从$1$枚举），如果$mask'=mask$，那么将$number'$的系数减去$\frac{1}{D}$；否则将常数项加上$\frac{1}{D} f(mask',number')$，并且常数项一开始的值为$1$（因为转移后面有一个$+1$）。

时间复杂度为$O(2^DD^3)$。

#include<bits/stdc++.h>
#define debug(...) std::cerr<<#__VA_ARGS__<<" : "<<__VA_ARGS__<<std::endl

int pos[18],vis[18];
double a[18][18],f[1<<18][18];

void gauss(int n) {
	memset(pos,0,sizeof pos);
	memset(vis,0,sizeof vis);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		int maxp=0;
		for(int j=1;j<=n;j++)
			if((!maxp||abs(a[maxp][i])<abs(a[j][i]))&&!vis[j])
				maxp=j;
		if(a[maxp][i]==0) {
			puts("No Solution");
			exit(0);
		}
		pos[i]=maxp,vis[maxp]=1;
		double tim=a[maxp][i];
		for(int j=i;j<=n+1;j++)
			a[maxp][j]/=tim;
		for(int j=1;j<=n;j++) {
			if(j==maxp) continue;
			double tim=a[j][i];
			for(int k=i;k<=n+1;k++)
				a[j][k]-=a[maxp][k]*tim;
		}
	}
}

struct SeeAllDifferences {
	double solve(int D,std::vector<int> rolled) {
		for(int mask=1;mask<(1<<D);mask++) {
			memset(a,0,sizeof a);
			for(int x=0;x<D;x++) a[x+1][x+1]=a[x+1][D+1]=1;
			for(int x=0;x<D;x++) for(int y=0;y<D;y++) {
				int diff=abs(x-y);
				if(mask&(1<<diff)) {
					a[x+1][D+1]+=f[mask^(1<<diff)][y]/(double)D;
				} else {
					a[x+1][y+1]-=1.0/(double)D;
				}
			}
			gauss(D);
			for(int x=0;x<D;x++) f[mask][x]=a[pos[x+1]][D+1];
		}
		int mask=(1<<D)-1;
		for(int i=1;i<(int)rolled.size();i++) {
			int diff=abs(rolled[i]-rolled[i-1]);
			if(mask&(1<<diff)) mask^=1<<diff;
		}
		return f[mask][rolled.back()-1];
	}
};