AtCoder Regular Contest 140 D,E

D
不难发现最终的图将是若干个基环树。

先将我们已经知道的边连上。那么有些联通块已经成为基环树了，这样我们直接将答案 $+1$ ，在下面填数时就不考虑它们了。

否则剩下的连通块一定都是树（单个点也算树），并且每个树中恰好有一个点没有连上（即每个树中都存在且仅存在一个点 $i$ ，使得 $A_{i}=-1$ ）。

假设共有 $C$ 个树，给它们依次标号 $1,2,...,C$ ，其大小分别是 $siz(1),siz(2),...siz(C)$ 。

如果我们选择将编号为 $x_{1},x_{2},...,x_{p}$ 合并成一个联通块（通过将 $A_{i}=-1$ 的替换成正整数），那么方案数有 $(p-1)!\times \prod_{i=1}^{p} siz(x_{i})$ 种。

我们分开计算——即计算连通块大小为 $Q$ 的共有多少种方案。

那么此时我们可以设 $dp_{i,j}$ 为考虑前 $i$ 个，并且连通块已经包含了 $j$ 个树的方案数。

答案就是 $\sum_{i=1}^{C} dp_{C,i}$ 。

时间复杂度为 $O(n^2)$ 。

E
open problem?

首先如果 $500\times 500$ 的我们构造出来了，那么所有的都可以解决（取左上角为 $1,1$ ，右下角为 $n,m$ 的子矩阵）。

我们考虑 $x\times x$ 的情况。可以发现对 $[1,2,...,x]$ 数组重复 $x$ 次，每次将第一个放到最后一个。比如 $x=3$ 时，它长成这个样子：

 1 2 3
 2 3 1
 3 1 2

这样，所有的 $x\times x$ 的矩阵我们就可以有解。但注意的是，由于我们数字最大取到 $25$ ，所以这个做法仅对 $n,m\leq 25$ 的有用。

其实，我们还有别的 $x=3$ 的矩阵，就是对行进行轮换。

 2 3 1
 3 1 2
 1 2 3

 3 1 2
 1 2 3
 2 3 1

所以，对于 $x\times x$ 的矩阵，我们有 $x$ 种不同的。

此时我们有一个思路——将很多属于这 $x$ 种的矩阵拼接一下，拼成一个更大的矩阵。

并且由于 $x^2$ 最大可以取到 $625$ ，所以我们考虑利用 $x$ 时的 $x$ 中矩阵构造 $(x^2)\times (x^2)$ 时的答案。

比如对于 $9\times 9$ 的矩阵，我们可以按照下面的方法拼接：

 1 1 1
 1 2 3
 1 3 2

其中 $1,2,3$ 代表 $x=3$ 时 $3$ 种矩阵的编号。（就是上面列的）

但注意，形如：

a...a
.   .
a...a

是不能出现在矩阵中的，相同的，

a...a
.   .
b...b

和

a...b
.   .
a...b

也不能出现在矩阵中，比如：

 1 1
 2 2

对应的 $6\times 6$ 的矩阵是：

 1 2 3  1 2 3
 2 3 1  2 3 1
 3 1 2  3 1 2

 2 3 1  2 3 1
 3 1 2  3 1 2
 1 2 3  1 2 3

其中 $x1=1,y1=1,x2=6,y2=4$ 就是一组不合法的解。因为将两列上相同的矩阵轮换两次后得到的矩阵仍然是相同的。

观察上面的 $9\times 9$ 的方案：

 1 1 1
 1 2 3
 1 3 2

它其实有规律：
第一行 $array{i,j}=(array{i,j-1}+0)\mod 3 +1$
第二行 $array{i,j}=(array{i,j-1}+1)\mod 3 +1$
第三行 $array{i,j}=(array{i,j-1}+2)\mod 3 +1$
原因也很简单：我们之前分析中说，除了第一行和第一列，不能出现两个相同行或列上有轮换次数相同的矩阵。（即种类相同的矩阵）
所以我们必须错位加上一个数，第一行加 $0$ ，第二行加 $1$ ，第三行加 $2$ 。
而且，对于 $(x^2)\times (x^2)$ ，且 $x$ 为合数，我们是构造不出的。因为错位后我们第一次出现相同的位置是小于 $x^2$ 的。