PKUSC 2018 星际穿越

这是一道有难度的倍增题。

因为$r_{i}-l_{i}+1$可以直接计算，故只要求出$\sum_{j=l_{i}}^{r_{i}} dist(x_{i},j)$，就可以回答询问了。

我们设$farthest(i,j)$表示从$i$出发，走$j$步之内最远能到达哪些点。

接下来我们证明一个结论：$farthest(i,j)=\min_{k=farthest(i,j-1)}^n l_{k}$，$farthest(i,0)=l_i$

首先我们发现，最优的路径一定是从$x$出发，向后走最多一格，然后再一直向前走。

显然走了一步，那么只能往前走，$farthest(i,0)=l_{i}$。

考虑走了超过一步，那么我们可以在第一步走到一些$\geq i$的点$S$，还有一些点$j$，$j$虽然大于$i$，但是$l_{j}>i$，导致$i,j$间没有边相连，无法在第一步走到。但是我们仍然可以加入这些点，因为这些点都满足$l_{j}>i$，而$l_{i}<i$，故$farthest(i,p)$肯定小于$i$，这些$j$并不会对后缀$min$造成影响。

这样设$minl_i=\min_{j=i}^n l_{j}$，那么我们可以从$i$连一条边到$minl_{i}$，表示$i$在下一步最远可以到达$minl_{i}$。

我们将问题转化成$solve(i,x)$表示从$x$出发，走到$[i,x)$的每个点的最短路的和，那么$ans=solve(l_{i},x)-solve(r_{i}+1,x)$。

这样，我们可以一步一步找下一个$minl_{i}$，同时进行计算，是$O(n^2)$的。

但是，我们发现这个问题可以用倍增，设$nxt(i,j)$表示从$i$出发，走$2^j$步最远可以到达的点，则$nxt(i,j)=nxt(nxt(i,j-1),j-1)$。

然后设$sum(i,j)=\sum_{k=nxt(i,j)}^{i-1} dist(i,k)$，则不难推出$sum(i,j)=sum(i,j-1)+sum(nxt(i,j-1),j-1)+2^{j-1}(nxt(i,j-1)-nxt(i,j))$。

进行$solve$函数的过程和预处理倍增的过程基本类似。

要特别注意两点：

1. 最后一步要特判，因为$minl$有可能直接跳过了我们规定的最小值。
2. 第一步也要特判，因为按照我们的推导，$nxt(i,0)=minl_{i}$，但实际上应该是$l_{i}$，因为此时我们还无法到大于$i$的点上。

#include<bits/stdc++.h>
#define debug(...) std::cerr<<#__VA_ARGS__<<" : "<<__VA_ARGS__<<std::endl

using ll=long long;
const int maxn=300005;
const int maxlog=20;
int n,q,l[maxn],minl[maxn];
int nxt[maxn][maxlog];
ll sum[maxn][maxlog];

ll gcd(ll a,ll b) {
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

ll solve(ll to,ll pos) {
	if(to==pos) return 0;
	ll ret=0,tot=0;
	if(l[pos]>=to) ret+=pos-l[pos],tot=1,pos=l[pos];
	for(int j=maxlog-1;~j;j--) {
		if(nxt[pos][j]>=to) {
			ret+=sum[pos][j]+tot*(pos-nxt[pos][j]);
			pos=nxt[pos][j];
			tot+=1ll<<(ll)j;
		}
	}
	ret+=(pos-to)*(tot+1);
	return ret;
} 

int main() {
	scanf("%d",&n);
	for(int i=2;i<=n;i++)
		scanf("%d",&l[i]);
	minl[n]=l[n];
	for(int i=n-1;i>=2;i--)
		minl[i]=std::min(l[i],minl[i+1]);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		nxt[i][0]=minl[i]; sum[i][0]=i-minl[i];
		for(int j=1;j<maxlog;j++) {
			nxt[i][j]=nxt[nxt[i][j-1]][j-1];
			sum[i][j]=sum[i][j-1]+sum[nxt[i][j-1]][j-1]+(1ll<<ll(j-1))*(nxt[i][j-1]-nxt[i][j]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=0;j<maxlog;j++) {
			if(!nxt[i][j]) sum[i][j]=0;
		}
	}
	scanf("%d",&q);
	while(q--) {
		int lef,rig,x;
		scanf("%d%d%d",&lef,&rig,&x);
		ll a=solve(lef,x)-solve(rig+1,x),b=rig-lef+1,c=gcd(a,b);
		printf("%lld/%lld\n",a/c,b/c);
	}
	return 0;
}