bzoj 3309 DZY Loves Math——反演+线性筛

题目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3309

像这种数据范围，一般是线性预处理，每个询问 sqrt （数论分块）做。

先反演一番。然后 f( ) 还不能一个就花 log 的时间，所以要分析性质。

设 n 一共 m 个质因数，其中最大的指数是 t 。

已有 Σ(d|n) f(d)*u(n/d) ，如果 u( ) 的部分含有指数>=2的质因子，就无贡献；所以 u( ) 里每种质因数选1个或0个，一共 2^m 种。

如果 n 里有一个质因子的指数<t ，则卷积的值是0。因为 u 含有的所有集合可以分成含该因子、不含该因子两部分。这两部分含有的集合个数相同，u的符号正好相反，值相同（因为该质因子的有无不影响 f( ) 的值，因为 f( ) 的值是 t 或 t-1），所以求和为0。

所以 n 的质因子必须齐次。那么只有 u( ) 含有所有质因子的时候，f( ) 的值才是 t-1 ，否则都是 t 。除了这两项，其余消成0；再考虑 u( ) 的符号，于是 Σ(d|n) f(d)*u(n/d) = (-1)^(m+1)。

设 g(n) = Σ(d|n) f(d)*u(n/d) ，则 g( ) 可以线性筛。只要记录每个数是否齐次、如果齐次的话次数是几、一共多少种质因子，就能筛了。然后每个询问数论分块即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e7+5;
int T,n,m,g[N],pri[N],cnt,c[N],v[N];
ll ans;
bool fx[N],vis[N];
int rdn()
{
  int ret=0;bool fx=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')fx=0;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9') ret=(ret<<3)+(ret<<1)+ch-'0',ch=getchar();
  return fx?ret:-ret;
}
void calc(int a,int b,int &x,int &y)
{
  x=0; y=0;
  while(a%b==0)y++,a/=b;
  x=a;
}
void init()
{
  int lm=1e7;
  for(int i=2;i<=lm;i++)
    {
      if(!vis[i])pri[++cnt]=i,g[i]=g[i-1]+1,fx[i]=c[i]=v[i]=1;
      else g[i]=g[i-1]+(fx[i]?(v[i]&1?1:-1):0);
      
      for(int j=1,k;j<=cnt&&((ll)i*pri[j]<=lm);j++)
    {
      vis[k=i*pri[j]]=1;
      if(i%pri[j]==0)
        {
          int d,a;calc(i,pri[j],d,a);
          if(d==1)
        fx[k]=1,c[k]=a+1,v[k]=1;
          else if(fx[d]&&c[d]==a+1)
        fx[k]=1,c[k]=c[d],v[k]=v[d]+1;
          break;
        }
      else if(fx[i]&&c[i]==1)
        fx[k]=1,c[k]=1,v[k]=v[i]+1;
    }
    }
}
int main()
{
  init();
  T=rdn();
  while(T--)
    {
      n=rdn(); m=rdn(); int nt1,nt2;
      if(n>m) swap(n,m);
      for(int i=1;i<=n;i=min(nt1,nt2)+1)
    {
      nt1=(n/i); nt2=(m/i);
      ll d=(ll)nt1*nt2*(g[min(nt1=n/nt1,nt2=m/nt2)]-g[i-1]);
      ans+=d;
    }
      printf("%lld\n",ans); ans=0;
    }
  return 0;
}