bzoj3258秘密任务

题目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3258

因为只走最短路，所以先正反两遍djkstra，新建边。

　　这里的边是单向边。所以要用原来的边的话不仅要把反向边打标记，还要把反向边的流量改成0！

　　但最后枚举边判flag的时候只看非反向边，如果新建边就能从2开始+=2遍历。不然无法区分是不是反向边。所以别用原来的边了吧。

求最小割得到一组可行解。流量当然就是两端点中权值较小的点的权值。

重点：

　　在残量网络上把边双连通分量缩点。剩下的边只有满流的。

　　1)非满流边：说明在S-T连通性方面等价于它的其他边的流量更小。所以它不会出现在任何可行解中。

　　2)满流边，两端点在同一个SCC中：说明两端点所在的连通块之间有非满流边，即两端点所在连通块之间的边的流量和大于两边的流量，此时应割掉两边的边；

　　　　　　　　　　所以两连通块之间的边不在任一可行解中，包括这条边。

　　3)满流边，两端点不在同一个SCC中，且不是直接连通S和T所在连通块：这说明它是在S所在块到T所在块的路径链上的一条边。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　这条路径上每两个点之间的边的流量总和各各相等 一样的感觉吧。反正路径上可以任选一个S-T割，方案就是多种的。

　　4)满流边，两端点不在同一个SCC中，且直接连通S和T所在的连通块：比如，增大它的流量，最大流的值会变大。它是必须被割的边。

jcvb（金策）的解读：

在残余网络上跑tarjan求出所有SCC，记id[u]为点u所在SCC的编号。显然有id[s]!=id[t]（否则s到t有通路，能继续增广）。

①对于任意一条满流边(u,v)，(u,v)能够出现在某个最小割集中，当且仅当id[u]!=id[v]；
②对于任意一条满流边(u,v)，(u,v)必定出现在最小割集中，当且仅当id[u]==id[s]且id[v]==id[t]。

①

<==将每个SCC缩成一个点，得到的新图就只含有满流边了。那么新图的任一s-t割都对应原图的某个最小割，从中任取一个把id[u]和id[v]割开的割即可证明。

②
<==：假设将(u,v)的边权增大，那么残余网络中会出现s->u->v->t的通路，从而能继续增广，于是最大流流量（也就是最小割容量）会增大。这即说明(u,v)是最小割集中必须出现的边。

（求SCC的正确姿势！）

（输出单词的 仅首字母大写）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=405,M=4005;
const ll INF=5e12;
int T,n,m,head[N],cur[N],xnt,dfn[N],low[N],tot,col[N],cnt,stack[N],top;
ll dis[2][N],a[N],mxflow;
bool vis[N],bri[M<<1],flag,ins[N];
struct Edge{
    int next,to;ll cap,w;
    Edge(int n=0,int t=0,ll c=0,ll w=0):next(n),to(t),cap(c),w(w) {}
}edge[M<<1],ed[M<<1];
int rdn()
{
    int ret=0;char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0')ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')(ret*=10)+=ch-'0',ch=getchar();
    return ret;
}
int rdl()
{
    ll ret=0;char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0')ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')(ret*=10)+=ch-'0',ch=getchar();
    return ret;
}
void add(int x,int y,ll w)
{
    edge[++xnt]=Edge(head[x],y,0,w);head[x]=xnt;
    edge[++xnt]=Edge(head[y],x,0,w);head[y]=xnt;
}
void adde(int x,int y)
{
    ll z=min(a[x],a[y]);
    ed[++xnt]=Edge(head[x],y,z,0);head[x]=xnt;
    ed[++xnt]=Edge(head[y],x,0,0);head[y]=xnt;
}
void dj(int d)
{
    memset(dis[d],1,sizeof dis[d]);dis[d][d?n:1]=0;
    memset(vis,0,sizeof vis);
    priority_queue<pair<ll,int>,vector<pair<ll,int> >,greater<pair<ll,int> > > q;
    q.push(make_pair(0,d?n:1));
    while(q.size())
    {
        int k=q.top().second;q.pop();
        while(vis[k]&&q.size())k=q.top().second,q.pop();
        if(vis[k])break;vis[k]=1;
        for(int i=head[k],v;i;i=edge[i].next)
            if(dis[d][v=edge[i].to]>dis[d][k]+edge[i].w)
            {
                dis[d][v]=dis[d][k]+edge[i].w;q.push(make_pair(dis[d][v],v));
            }
    }
}
void init()
{
    dj(0);dj(1);int xt=xnt;xnt=1;memset(head,0,sizeof head);
    for(int i=2;i<=xt;i++)
        if(dis[0][edge[i^1].to]+dis[1][edge[i].to]+edge[i].w==dis[0][n])adde(edge[i^1].to,edge[i].to);
}
bool bfs()
{
    memset(dfn,0,sizeof dfn);dfn[1]=1;
    queue<int> q;q.push(1);
    while(q.size())
    {
        int k=q.front();q.pop();
        for(int i=head[k],v;i;i=ed[i].next)
            if(!dfn[v=ed[i].to]&&ed[i].cap)
                {dfn[v]=dfn[k]+1;if(v==n)return true;q.push(v);}
    }
    return false;
}
ll dinic(int k,ll flow)
{
    if(k==n)return flow;//////
    ll use=0;
    for(int& i=cur[k],v;i;i=ed[i].next)
        if(dfn[v=ed[i].to]==dfn[k]+1&&ed[i].cap)
        {
            ll tmp=dinic(v,min(ed[i].cap,flow-use));
            if(!tmp)dfn[v]=0;
            ed[i].cap-=tmp;ed[i^1].cap+=tmp;use+=tmp;
            if(use==flow)break;
        }
    return use;
}
//void dfs(int cr)
//{
//    dfn[cr]=low[cr]=++tot;
//    for(int i=head[cr],v;i;i=ed[i].next)
//        if(ed[i].cap)
//        {
//            if(dfn[v])low[cr]=min(low[cr],dfn[v]);
//            else{dfs(v);low[cr]=min(low[cr],low[v]);}
//            if(low[v]>dfn[cr])bri[i]=1;
//        }
//}
//void dfs2(int cr)
//{
//    col[cr]=cnt;
//    for(int i=head[cr];i;i=ed[i].next)
//        if(ed[i].cap&&!bri[i]&&!col[ed[i].to])dfs2(ed[i].to);
//}
//void tarjan()
//{
//    memset(col,0,sizeof col);memset(bri,0,sizeof bri);memset(dfn,0,sizeof dfn);
//    cnt=0;tot=0;dfs(1);
//    for(int i=1;i<=n;i++)if(!col[i])cnt++,dfs2(i);
//}
void dfs(int cr)
{
    dfn[cr]=low[cr]=++tot;stack[++top]=cr;ins[cr]=1;
    for(int i=head[cr],v;i;i=ed[i].next)
        if(ed[i].cap)
        {
            if(ins[v=ed[i].to])low[cr]=min(low[cr],dfn[v]);
            else if(!dfn[v])//所以自己必须赋值为0 
                {dfs(v);low[cr]=min(low[cr],low[v]);}
        }
    if(dfn[cr]==low[cr])
    {
        cnt++;while(stack[top]!=cr)ins[stack[top]]=0,col[stack[top--]]=cnt;
        ins[stack[top]]=0;col[stack[top--]]=cnt;
    }
}
void tarjan()
{
    memset(dfn,0,sizeof dfn);cnt=0;tot=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)if(!dfn[i])dfs(i);
}
int main()
{
    T=rdn();
    while(T--)
    {
        xnt=1;memset(head,0,sizeof head);
        n=rdn();m=rdn();
        for(int i=1;i<n;i++)a[i]=rdl();a[n]=INF;int x,y;ll z;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            x=rdn();y=rdn();z=rdl();add(x,y,z);
        }
        init();mxflow=0;
        while(bfs())
            {memcpy(cur,head,sizeof head);mxflow+=dinic(1,INF);}
        tarjan();flag=0;
        for(int i=2,u,v;i<=xnt;i+=2)//只看非反向边 
            if(!ed[i].cap&&col[u=ed[i^1].to]!=col[v=ed[i].to])//
                if(a[u]==a[v]||col[u]!=col[1]||col[v]!=col[n]){flag=1;break;}
        if(flag)printf("No %lld\n",mxflow);else printf("Yes %lld\n",mxflow);
    }
    return 0;
}