CF 717A Festival Organization——斯特林数+递推求通项+扩域

题目：http://codeforces.com/contest/717/problem/A

是 BJOI2019 勘破神机 的弱化版。

令 \( g[i] \) 表示长为 i 、以 1 结尾的方案数，有 \( g[i]=g[i-1]+g[i-2] , g[0]=g[1]=1 \) ；

令 \( f[i] \) 表示长为 i 的方案数，有 \( f[i]=g[i]+g[i-1] \)

发现 \( f[i]=f[i-1]+f[i-2] , f[0]=1 , f[1]=2 \)

那么令 l+=2 , r+=2 ， f[ i ] 就是普通的斐波那契数。用 BJOI 那道题的套路即可。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=205,mod=1e9+7;
int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod;while(x<0)x+=mod;return x;}
int pw(int x,int k)
{int ret=1;while(k){if(k&1)ret=(ll)ret*x%mod;x=(ll)x*x%mod;k>>=1;}return ret;}

int k,s[N][N],c[N][N],ans;
int tlen;ll l,r,len;
struct Node{
  int x,y;
  Node(int x=0,int y=0):x(x),y(y) {}
  Node operator+ (const Node &b)const
  {return Node(upt(x+b.x),upt(y+b.y));}
  Node operator- (const Node &b)const
  {return Node(upt(x-b.x),upt(y-b.y));}
  Node operator* (const Node &b)const
  {return Node(((ll)x*b.x+(ll)y*b.y%mod*5)%mod,((ll)x*b.y+(ll)y*b.x)%mod);}
}A[N],B[N],x1[N],x2[N],one;
Node pw(Node x,ll k)
{Node ret=one;while(k){if(k&1)ret=ret*x;x=x*x;k>>=1;}return ret;}
void init()
{
  s[0][0]=1;
  for(int i=1;i<=k;i++)
    for(int j=1;j<=i;j++)
      s[i][j]=(s[i-1][j-1]+(ll)s[i-1][j]*(i-1))%mod;
  for(int i=0;i<=k;i++)c[i][0]=1;
  for(int i=1;i<=k;i++)
    for(int j=1;j<=i;j++)
      c[i][j]=upt(c[i-1][j-1]+c[i-1][j]);

  one=Node(1,0); int tp=pw(5,mod-2);
  A[1]=Node(0,tp); B[1]=Node(0,upt(-tp));
  tp=pw(2,mod-2); x1[1]=Node(tp,tp); x2[1]=Node(tp,upt(-tp));
  A[0]=B[0]=x1[0]=x2[0]=one;
  for(int i=2;i<=k;i++)A[i]=A[i-1]*A[1];
  for(int i=2;i<=k;i++)B[i]=B[i-1]*B[1];
  for(int i=2;i<=k;i++)x1[i]=x1[i-1]*x1[1];
  for(int i=2;i<=k;i++)x2[i]=x2[i-1]*x2[1];
}
Node Inv(Node x)
{
  int tp=upt(((ll)x.x*x.x-(ll)x.y*x.y%mod*5)%mod);
  tp=pw(tp,mod-2);
  return Node((ll)x.x*tp%mod,upt(-(ll)x.y*tp%mod));
}
Node cal(Node x)
{
  if(x.x==1&&x.y==0)return Node(tlen,0);
  return pw(x,l)*(one-pw(x,len))*Inv(one-x);
}
int main()
{
  scanf("%d%lld%lld",&k,&l,&r); l+=2; r+=2;
  init(); len=r-l+1; tlen=len%mod;
  for(int j=0,fx=((k&1)?upt(-1):1);j<=k;j++,fx=upt(-fx))
    {
      int tp=0;
      for(int t=0;t<=j;t++)
    {
      Node d=cal(x1[t]*x2[j-t]);
      d=d*A[t]*B[j-t];
      tp=(tp+(ll)c[j][t]*d.x)%mod;
    }
      ans=(ans+(ll)s[k][j]*fx%mod*tp)%mod;
    }
  int ml=1;
  for(int i=2;i<=k;i++)ml=(ll)ml*i%mod;
  ml=pw(ml,mod-2);
  ans=(ll)ans*ml%mod;
  printf("%d\n",ans);
  return 0;
}