LOJ 2979 「THUSCH 2017」换桌——多路增广费用流

题目：https://loj.ac/problem/2979

原来的思路：

　　优化连边。一看就是同一个桌子相邻座位之间连边、相邻桌子对应座位之间连边。

　　每个座位向它所属的桌子连边。然后每个人建一个点，向若干桌子连边。

　　因为连边的桌子是区间，所以线段树优化。

　　又想到志愿者招募之类的，所以想弄一个上下界费用流。人向它的座位连下界为1的边，对应桌子区间向人连边。找一些循环流。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define ls Ls[cr]
#define rs Rs[cr]
using namespace std;
int rdn()
{
  int ret=0;bool fx=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')fx=0;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
  return fx?ret:-ret;
}
int Mn(int a,int b){return a<b?a:b;}
const int N=305,M=15,N2=7000,M2=140000,INF=3005;
int n,m,S,T,L[N][M],R[N][M],dy[N],bh[N][M],tot,Ls[N<<1],Rs[N<<1];
int rd[N2],hd[N2],xnt=1,to[M2],nxt[M2],cap[M2],w[M2];
int ans,dis[N2],pr[N2],info[N2]; bool ins[N2];
queue<int> q;
void add(int x,int y,int l,int r,int z)
{
  rd[y]+=l; rd[x]-=l; ans+=l*z; r-=l;
  to[++xnt]=y;nxt[xnt]=hd[x];hd[x]=xnt;cap[xnt]=r;w[xnt]=z;
  to[++xnt]=x;nxt[xnt]=hd[y];hd[y]=xnt;cap[xnt]=0;w[xnt]=-z;
}
void build(int l,int r,int cr)
{
  if(l==r){dy[l]=cr;return;}
  int mid=l+r>>1;
  ls=++tot; build(l,mid,ls);
  rs=++tot; build(mid+1,r,rs);
  add(ls,cr,0,INF,0); add(rs,cr,0,INF,0);
}
void qry(int l,int r,int cr,int L,int R,int k)
{
  if(l>=L&&r<=R)
    {
      printf("(%d->%d)\n",cr,k);
      add(cr,k,0,1,0);return;
    }
  int mid=l+r>>1;
  if(L<=mid)qry(l,mid,ls,L,R,k);
  if(mid<R)qry(mid+1,r,rs,L,R,k);
}
bool spfa()
{
  memset(dis,0x3f,sizeof dis); info[T]=0;
  dis[S]=0; info[S]=INF; q.push(S); ins[S]=1;
  while(q.size())
    {
      int k=q.front(); q.pop(); ins[k]=0;
      for(int i=hd[k],v;i;i=nxt[i])
    if(cap[i]&&dis[v=to[i]]>dis[k]+w[i])
      {
        dis[v]=dis[k]+w[i];
        pr[v]=i; info[v]=Mn(info[k],cap[i]);
        if(!ins[v])ins[v]=1,q.push(v);
      }
    }
  return info[T];
}
int ek()
{
  int tp=info[T];
  for(int i=pr[T];i;i=pr[to[i^1]])
    {
      cap[i]-=tp; cap[i^1]+=tp;
      ans+=w[i]*tp;
      printf("%d ",to[i]);
    }
  puts("");
  return tp;
}
int main()
{
  n=rdn();m=rdn();
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)L[i][j]=rdn()+1;//+1
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)R[i][j]=rdn()+1;
  tot=1;build(1,n,1); int tmp=n*m;
  for(int i=1;i<=n;i++,puts(""))
    for(int j=1;j<=m;j++)bh[i][j]=++tot,printf("%d ",tot);
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
      {
    qry(1,n,1,L[i][j],R[i][j],bh[i][j]+tmp);
    printf("(%d->%d)\n",bh[i][j]+tmp,bh[i][j]);
    add(bh[i][j]+tmp,bh[i][j],1,1,0);
    printf("(%d->%d)\n",bh[i][j],dy[i]);
    add(bh[i][j],dy[i],1,1,0);

    printf("(%d->%d)[]\n",bh[i][j],bh[i][j==m?1:j+1]);
    add(bh[i][j],bh[i][j==m?1:j+1],0,INF,1);
    printf("(%d->%d)[]\n",bh[i][j],bh[i][j>1?j-1:m]);
    add(bh[i][j],bh[i][j>1?j-1:m],0,INF,1);
    if(i<n)
      {
        printf("(%d->%d)[]\n",bh[i][j],bh[i+1][j]);
        add(bh[i][j],bh[i+1][j],0,INF,2);
      }
      }
  tot+=tmp; S=tot+1; T=tot+2; tmp=0;
  printf("S=%d T=%d\n",S,T);
  for(int i=1;i<=tot;i++)
    if(rd[i]<0)add(i,T,0,-rd[i],0);
    else if(rd[i]>0)add(S,i,0,rd[i],0),tmp+=rd[i];
  printf("tmp=%d ans=%d\n",tmp,ans);
  while(spfa())tmp-=ek();
  if(tmp)puts("no solution");
  else printf("%d\n",ans);
  return 0;
}

然后发现过不了样例。这样是不行的。希望的是 “因为自己连向 x 座位、 y 桌子向自己连边，所以 x 座位到 y 桌子走了一条路” ， 但实际上这样相当于自己给 x 座位一些流量、自己向 y 桌子索求一些流量；如果有另一个人，给 y 桌子某座位一些流量、向 x 座位所在桌子索求流量，那么 x 和 y 之间本应有两条路，现在一条也没有了。

正解和这个类似？

每种座位都建两棵线段树，维护所有桌子，一棵表示向左走，一棵表示向右走；即一共 2*m 棵线段树。

然后每个人向线段树对应节点连边；线段树叶子就表示座位；同一个桌子的座位之间连边即可。

向左走的线段树，从自己到左孩子连的边，费用需要加上 “跨过右孩子” 的代价。即到达向左走的线段树某节点，默认当前在该区间的右端点。所以每个人向区间连的 log 条边要注意一下初始费用。

需要多路增广费用流才能过。多路增广，就是 spfa 一次之后，根据 dis[ cr ] 和 dis[ v ] 的关系，像 dinic 一样走。 dinic 的优化都可以加（似乎一定要加当前弧优化？），注意要像 dfs 一样打 vis 标记，因为 dis 上可能有 0 环。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define ls Ls[cr]
#define rs Rs[cr]
using namespace std;
int rdn()
{
  int ret=0;bool fx=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')fx=0;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
  return fx?ret:-ret;
}
int Mn(int a,int b){return a<b?a:b;}
int Mx(int a,int b){return a>b?a:b;}
const int N=18005,M=276005,INF=3005;
int n,m,S,T,L[305][15],R[305][15],bh[305][15];
int tot,Ls[N],Rs[N],hd[N],xnt=1,to[M],nxt[M],cap[M],w[M];
int ans,mxflow,dis[N],pr[N],info[N]; bool ins[N];
int cur[N];bool vis[N];
queue<int> q;
void add(int x,int y,int c,int z)
{
  to[++xnt]=y;nxt[xnt]=hd[x];hd[x]=xnt;cap[xnt]=c;w[xnt]=z;
  to[++xnt]=x;nxt[xnt]=hd[y];hd[y]=xnt;cap[xnt]=0;w[xnt]=-z;
}
void build(int l,int r,int cr,bool fx,int k)
{
  if(l==r)
    {
      if(!fx)bh[l][k]=++tot;
      add(cr,bh[l][k],INF,0); return;
    }
  int mid=l+r>>1;
  ls=++tot; build(l,mid,ls,fx,k);
  rs=++tot; build(mid+1,r,rs,fx,k);
  if(fx)
    { add(cr,ls,INF,0); add(cr,rs,INF,(mid-l+1)*2);}
  else
    { add(cr,ls,INF,(r-mid)*2); add(cr,rs,INF,0);}
}
void qry(int l,int r,int cr,int L,int R,int lj,bool fx)
{
  if(l>=L&&r<=R){ add(tot,cr,1,lj);return;}
  int mid=l+r>>1;
  if(!fx)
    {
      if(L<=mid)qry(l,mid,ls,L,R,lj+2*(r-mid),fx);
      if(mid<R)qry(mid+1,r,rs,L,R,lj,fx);
    }
  else
    {
      if(L<=mid)qry(l,mid,ls,L,R,lj,fx);
      if(mid<R)qry(mid+1,r,rs,L,R,lj+2*(mid-l+1),fx);
    }
}
bool spfa()
{
  memset(dis,0x3f,sizeof dis); info[T]=0;
  dis[S]=0; info[S]=INF; q.push(S); ins[S]=1;
  while(q.size())
    {
      int k=q.front(); q.pop(); ins[k]=0;
      for(int i=hd[k],v;i;i=nxt[i])
    if(cap[i]&&dis[v=to[i]]>dis[k]+w[i])
      {
        dis[v]=dis[k]+w[i];
        pr[v]=i; info[v]=Mn(info[k],cap[i]);
        if(!ins[v])ins[v]=1,q.push(v);
      }
    }
  return info[T];
}
int dfs(int cr,int flow)
{
  if(cr==T)return flow;
  int use=0; vis[cr]=1;
  for(int &i=cur[cr],v;i;i=nxt[i])
    if(cap[i]&&!vis[v=to[i]]&&dis[v]==dis[cr]+w[i])
      {
    int tmp=dfs(v,Mn(flow-use,cap[i]));
    if(!tmp)dis[v]=-1;
    cap[i]-=tmp; cap[i^1]+=tmp; ans+=tmp*w[i];
    use+=tmp; if(use==flow){vis[cr]=0;return use;}
      }
  vis[cr]=0; return use;
}
void solve()
{
  int tmp;
  while(spfa())
    {
      memcpy(cur,hd,sizeof hd);
      while(tmp=dfs(S,INF))mxflow+=tmp;
    }
}
int main()
{
  n=rdn();m=rdn();
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++) L[i][j]=rdn()+1;//+1
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++) R[i][j]=rdn()+1;
  tot=2*m;
  for(int i=1;i<=m;i++)
    { build(1,n,i,0,i); build(1,n,i+m,1,i);}
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
      { add(bh[i][j],bh[i][j==m?1:j+1],INF,1);
    add(bh[i][j],bh[i][j==1?m:j-1],INF,1);}
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
      {
    tot++;
    if(L[i][j]<i)
      qry(1,n,j,L[i][j],Mn(i-1,R[i][j]),-2*(n-i),0);
    if(R[i][j]>=i)
      qry(1,n,j+m,Mx(L[i][j],i),R[i][j],-2*(i-1),1);
      }
  S=tot+1; T=tot+2;
  for(int i=tot-n*m+1;i<=tot;i++)add(S,i,1,0);
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)add(bh[i][j],T,1,0);
  solve();
  if(mxflow<n*m)puts("no solution");
  else printf("%d\n",ans);
  return 0;
}