LOJ 3089 「BJOI2019」奥术神杖——AC自动机DP+0/1分数规划

题目：https://loj.ac/problem/3089

没想到把根号之类的求对数变成算数平均值。写了个只能得15分的暴力。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define db double
using namespace std;
const int N=1505,K=10; const db eps=1e-8;
int n,m,tot=1,c[N][K],fl[N]; db ans;
int hd[N],xnt,to[N<<1],nxt[N<<1],vl[N],sm[N];
int l[N],v[N],dy[N],q[N]; db vp[N][N];
char s[N],ch[N],prn[N];
db pw(db x,int k)
{db ret=1;while(k){if(k&1)ret*=x;x*=x;k>>=1;}return ret;}
void add(int x,int y){to[++xnt]=y;nxt[xnt]=hd[x];hd[x]=xnt;}
int ins(int len)
{
  int cr=1;
  for(int i=1;i<=len;i++)
    {
      int w=ch[i]-'0';
      if(!c[cr][w])c[cr][w]=++tot;
      cr=c[cr][w];
    }
  return cr;
}
void get_fl()
{
  int he=0,tl=0;
  for(int i=0;i<10;i++)
    if(c[1][i])q[++tl]=c[1][i],fl[c[1][i]]=1;
    else c[1][i]=1;
  while(he<tl)
    {
      int k=q[++he],pr=fl[k];
      for(int i=0;i<10;i++)
    if(c[k][i])q[++tl]=c[k][i],fl[c[k][i]]=c[pr][i];
    else c[k][i]=c[pr][i];
    }
  for(int i=2;i<=tot;i++)add(fl[i],i);
}
void m_dfs(int cr)
{
  sm[cr]=vl[cr];
  for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])
    m_dfs(v=to[i]), sm[cr]+=sm[v];
}
db fnd(int ct,db tp)
{
  db l=1,r=tp,ret=0;
  while(r-l>eps)
    {
      db mid=(l+r)/2;
      if(pw(mid,ct)<=tp)ret=mid,l=mid+eps;
      else r=mid-eps;
    }
  return ret;
}
void dfs(int cr,int nw)
{
  if(cr>n)
    {
      m_dfs(1); db tp=1; int ct=0;
      for(int i=1;i<=m;i++)
    { tp*=vp[i][sm[dy[i]]]; ct+=sm[dy[i]];}
      db d=fnd(ct,tp);
      if(d>ans)
    { ans=d;for(int i=1;i<=n;i++)prn[i]=s[i];}
      return;
    }
  if(s[cr]!='.')
    {
      nw=c[nw][s[cr]-'0']; vl[nw]++;
      dfs(cr+1,nw); vl[nw]--; return;
    }
  int ynw=nw;
  for(int i=0;i<10;i++)
    {
      s[cr]=i+'0'; nw=c[ynw][i];
      vl[nw]++; dfs(cr+1,nw); vl[nw]--;
    }
  s[cr]='.';////
}
void solve1()
{
  for(int i=1;i<=m;i++)
    {
      vp[i][0]=1;//[0]!!
      for(int j=1,lm=n-l[i]+1;j<=lm;j++)
    vp[i][j]=vp[i][j-1]*v[i];
    }
  dfs(1,1);
  for(int i=1;i<=n;i++)putchar(prn[i]); puts("");
}
namespace S2{
  bool en[N],dp[N][N]; int pr[N][N],pw[N][N];
  void dfs(int cr)
  {
    for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])
      en[v=to[i]]|=en[cr], dfs(v);
  }
  void solve()
  {
    for(int i=1;i<=m;i++)en[dy[i]]=1;
    m_dfs(1); dp[1][1]=1; int ni=0,nj;
    for(int i=1;i<=n&&!ni;i++)
      for(int j=1;j<=tot;j++)
    if(dp[i][j])
      {
        if(en[j]){ni=i;nj=j;break;}
        if(s[i]=='.')
          {
        for(int w=0;w<10;w++)
          if(!dp[i+1][c[j][w]])
            { pr[i+1][c[j][w]]=j;
              pw[i+1][c[j][w]]=w;
              dp[i+1][c[j][w]]=1;}
          }
        else
          {
        int w=s[i]-'0';
        for(int j=1;j<=tot;j++)
          if(!dp[i+1][c[j][w]])
            { pr[i+1][c[j][w]]=j;
              pw[i+1][c[j][w]]=w;
              dp[i+1][c[j][w]]=1;}
          }
      }
    for(int i=ni;i>1;i--)
      s[i-1]=pw[i][nj]='0', nj=pr[i][nj];
    for(int i=1;i<=n;i++)
      if(s[i]=='.')putchar('0');
      else putchar(s[i]);
    puts("");
  }
}
int main()
{
  scanf("%d%d",&n,&m); scanf("%s",s+1);
  int ct=0; for(int i=1;i<=n;i++) ct+=(s[i]=='.');
  bool fg=0;
  for(int i=1;i<=m;i++)
    {
      scanf("%s",ch+1); scanf("%d",&v[i]);
      l[i]=strlen(ch+1); dy[i]=ins(l[i]);
      if(i>1&&v[i]!=v[i-1])fg=1;
    }
  get_fl();
  if(n<=6||ct<=3)solve1(); else if(!fg)S2::solve();
  return 0;
}

\( log(a^x) = x*log(a) \) ， \( log(a*b) = log(a)+log(b) \) 。和乘法之类有关的应该考虑一下 log 。

求平均值就用 0/1 分数规划。

不要每次合法的时候都把方案存一遍。二分完再做一次，得到方案。自己用 pr[ ][ ] 和 pw[ ][ ] 记录 dp[ i ][ j ] 是从 dp[ i-1 ] 的哪里转移来的、填了什么值。

二分的 r 的范围是 max( log(v) ) 。

 m 个串里没出现过的字符都是等价的。记录一下 “出现过的字符” ， 如果有没出现过的就选一个加入字符集，然后用那个字符集来转移即可。

这样就能支持 1e-8 的精度了。不过 1e-4 就够了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define db double
using namespace std;
db Mx(db a,db b){return a>b?a:b;}
const int N=1505,K=10; const db INF=3e7,eps=1e-8;
int n,m,tot=1,c[N][K],fl[N],q[N];
int ct[N],pr[N][N],pw[N][N]; db v[N],dp[N][N];
char s[N],ch[N],prn[N];
int tw[K],top; bool vis[K];
db get_lg(int d)
{
  db l=0,r=10,ret=0;//ret=0
  while(r-l>eps)
    {
      db mid=(l+r)/2;
      if(pow(10,mid)<=d)ret=mid,l=mid+eps;
      else r=mid-eps;
    }
  return ret;
}
void ins(int len,db d)
{
  int cr=1;
  for(int i=1;i<=len;i++)
    {
      int w=ch[i]-'0';
      if(!vis[w])vis[w]=1,tw[++top]=w;
      if(!c[cr][w])c[cr][w]=++tot;
      cr=c[cr][w];
    }
  v[cr]=d; ct[cr]=1;
}
void get_fl()
{
  int he=0,tl=0;
  for(int i=0,j;i<10;i++)
    if((j=c[1][i]))q[++tl]=j,fl[j]=1;
    else c[1][i]=1;
  while(he<tl)
    {
      int k=q[++he],pr=fl[k];
      v[k]+=v[pr]; ct[k]+=ct[pr];
      for(int i=0,j;i<10;i++)
    if((j=c[k][i]))q[++tl]=j,fl[j]=c[pr][i];
    else c[k][i]=c[pr][i];
    }
}
int chk(db L)
{
  for(int i=0;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=tot;j++)dp[i][j]=-INF;
  dp[0][1]=0;
  for(int i=0;i<n;i++)
    {
      for(int j=1;j<=tot;j++)
    if(dp[i][j]>-INF)
      {
        if(s[i+1]!='.')
          {
        int w=s[i+1]-'0',tj=c[j][w];
        db d=dp[i][j]+v[tj]-L*ct[tj];
        if(d>dp[i+1][tj])
          {
            dp[i+1][tj]=d;pr[i+1][tj]=j;pw[i+1][tj]=w;
          }
        continue;
          }
        for(int k=1;k<=top;k++)
          {
        int w=tw[k],tj=c[j][w];
        db d=dp[i][j]+v[tj]-L*ct[tj];
        if(d>dp[i+1][tj])
          {
            dp[i+1][tj]=d;pr[i+1][tj]=j;
            pw[i+1][tj]=w;
          }
          }
      }
    }
  int j=1;
  for(int i=2;i<=tot;i++)if(dp[n][i]>dp[n][j])j=i;
  return j;
}
int main()
{
  scanf("%d%d",&n,&m);scanf("%s",s+1);
  db d,l=0,r=0,ans;
  for(int i=1;i<=m;i++)
    {
      scanf("%s%lf",ch+1,&d); d=get_lg(d);
      r=Mx(r,d);//Mx not sm
      int len=strlen(ch+1); ins(len,d);
    }
  get_fl();
  for(int i=0;i<10;i++)if(!vis[i]){tw[++top]=i;break;}
  while(r-l>eps)
    {
      db mid=(l+r)/2;
      if(dp[n][chk(mid)]>0)
    //>0 not >=0 for almost always can =0
    { ans=mid; l=mid+eps;}
      else r=mid-eps;
    }
  int j=chk(ans);
  for(int i=n;i;i--)
    prn[i]=pw[i][j]+'0', j=pr[i][j];
  printf("%s\n",prn+1);
  return 0;
}