bzoj 4772 显而易见的数论——拆分数（五边形数定理）+线性筛
题目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4772
题解：https://blog.csdn.net/Dream_Lolita/article/details/82314788
关于 \( g[p^t] \) 的值是多少，提供自己的见解：
首先，和 \( p^t \) 互质的数有 \( p^{t-1} \) 段，每段有 \( p-1 \) 个，模 p 等于 1 ~ p-1 。
那么和 \( p^t \) 做 gcd 的就是 \( p^{t-1} \) 段模 p 等于 0 ~ p-2 的数。
把模 p 等于 1 ~ p-2 的数的贡献写在一起，就是 \( p^{t-1}*(p-2) \) ；
考虑剩下的那些 0 , p , 2p , 3p , ...... pt-1*p ，那个 0 在这道题里可以写成 pt 。
考虑 gcd 里贡献 p 的，有 \( p^{t-1} - p^{t-2} \) 个；贡献 p2 的，有 \( p^{t-2} - p^{t-3} \) 个，以此类推。
所以贡献就是 \( p*( p^{t-1} - p^{t-2} ) + p^2*( p^{t-2} - p^{t-3} ) + ... + p^{t-1}*( p^1 - p^0 ) + p^t \)
乘开就是 \( ( p^t - p^{t-1} ) + ( p^t - p^{t-1} ) + ... + ( p^t - p^{t-1} ) + p^t = (t-1)*( p^t - p^{t-1} ) + p^t \)
所以 \( g[p^t] = p^{t-1}*(p-2) + (t-1)*(p^t - p^{t-1}) + p^t \)
如果想把 \( g[p^{t-1}] \) 代入式子里，就会变成：
\( g[p^{t-1}]=p^{t-2} + (t-2)*(p^{t-1} - p^{t-2}) + p^t-1 \)
\( g[p^t] = p*g[p^{t-1}]+(p^t - p^{t-1}) \)
筛的时候可以记录一下 mindiv 的 p 是 p 的几次方，就可以方便地知道 i 是不是 \( p^t \) 或者 i 是由哪个互质的数乘起来的了。
注意异或运算要加括号。
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; int rdn() { int ret=0;bool fx=1;char ch=getchar(); while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')fx=0;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar(); return fx?ret:-ret; } int Mx(int a,int b){return a>b?a:b;} int Mn(int a,int b){return a<b?a:b;} const int N=2005,M=1e5+5,M2=1e7+5,mod=1e9+7; int upt(int x,int md=mod){while(x>=md)x-=md;while(x<0)x+=md;return x;} int pw(int x,int k,int md=mod) {int ret=1;while(k){if(k&1)ret=(ll)ret*x%md;x=(ll)x*x%md;k>>=1;}return ret;} int type,n,k,a[M],f[N][N],g[M2],pri[M2],mdv[M2]; int p[N],nm[N][N],ct[M],jc[N],jcn[N]; bool vis[M2]; int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;} bool flag=0; int F(int x,int y) { if(type==1)return 1; else if(type==2)return gcd(x,y); else return upt(pw(x,y,k)+pw(y,x,k)+(x^y),k);//(x^y) token!!! } int C(int n,int m){return (ll)jc[n]*jcn[m]%mod*jcn[n-m]%mod;} void init(int mx) { p[0]=1; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;;j++) { int k0=j*(3*j-1)>>1, k1=j*(3*j+1)>>1; int fx=(j&1)?1:-1; if(k0>i&&k1>i)break; if(k0<=i)p[i]=upt(p[i]+fx*p[i-k0]); if(k1<=i)p[i]=upt(p[i]+fx*p[i-k1]); } jc[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)jc[i]=(ll)jc[i-1]*i%mod; jcn[n]=pw(jc[n],mod-2,mod); for(int i=n-1;i>=0;i--)jcn[i]=(ll)jcn[i+1]*(i+1)%mod; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=n-i;j>=i;j--) { int ret=0; if(j==i) { for(int k=2;k*i<=n;k++) { int tmp=upt(p[n-k*i]-((k+1)*i<=n?p[n-(k+1)*i]:0)); ret=(ret+(ll)C(k,2)*tmp)%mod; } } else { for(int k0=1,d0=i;d0+j<=n;k0++,d0+=i) for(int k1=1,d1=j;d0+d1<=n;k1++,d1+=j) ret=upt(ret+p[n-d0-d1]); } int d=F(i,j)%k; ct[d]=upt(ct[d]+ret); } int cnt=0; g[1]=1; for(int i=2;i<=mx;i++) { if(!vis[i])g[i]=upt(2*i-2),pri[++cnt]=i,mdv[i]=i; for(int j=1,d;j<=cnt&&(d=i*pri[j])<=mx;j++) { vis[d]=1; int p=pri[j]; if(i%pri[j]==0) { mdv[d]=mdv[i]*p; if(mdv[d]==d)g[d]=((ll)g[i]*p+d-i)%mod; else g[d]=(ll)g[d/mdv[d]]*g[mdv[d]]%mod; break; } g[d]=(ll)g[i]*g[p]%mod; mdv[d]=p; } } } int main() { type=rdn();n=rdn();k=rdn(); int mx=0; for(int i=0;i<k;i++)a[i]=rdn(),mx=Mx(mx,a[i]); init(mx); int ans=0; for(int i=0;i<k;i++) ans=(ans+(ll)g[a[i]]*ct[i])%mod; printf("%d\n",ans); return 0; }
