bzoj 3622 已经没有什么好害怕的了——二项式反演

题目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3622

令 f[i] 表示钦定 i 对 a[ ]>b[ ] 的关系的方案数；g[i] 表示恰好 i 对 a[ ]>b[ ] 的关系的方案数。

那么 \(f[i]=\sum\limits_{j>=i}C_{j}^{i}*g[j] \) ，\(g[i]=\sum\limits_{j>=i}C_{j}^{i}f[j](-1)^{j-i} \)

考虑怎么求 f[ ] 。可以 DP 。

先把 a[ ] 和 b[ ] 都按从小到大的顺序排序，dp[i][j]表示前 i 个 a[ ] 匹配了 j 对 a[ ] > b[ ] 的关系的方案数。

排序的好处就是 a[ ] > b[ ] 的一段 b[ ] ，a[i] 的这一段能包含 a[i-1] 的这一段。所以转移就是 dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]*(p0-(j-1))，其中p0是比 a[i] 小的 b[ ] 的个数。

然后别忘了 f[ i ] = dp[n][i]*(n-i)! ，阶乘表示其他配对可以随意。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int Mn(int a,int b){return a<b?a:b;}
const int N=2005,mod=1e9+9;
int upt(int x){if(x>=mod)x-=mod;return x;}
int n,k,a[N],b[N],dp[N],c[N][N];
void init()
{
    for(int i=0;i<=n;i++)c[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            c[i][j]=upt(c[i-1][j]+c[i-1][j-1]);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&b[i]);
    k+=n;if(k&1){puts("0");return 0;}//
    k>>=1;
    sort(a+1,a+n+1); sort(b+1,b+n+1);
    int p0=0;dp[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(p0<n&&b[p0+1]<a[i])p0++;
        for(int j=Mn(i,p0);j;j--)
      dp[j]=(dp[j]+(ll)dp[j-1]*(p0-j+1))%mod;
    }
    for(int i=n,lj=1,j=0;i;i--,j++,lj=(ll)lj*j%mod)
      dp[i]=(ll)dp[i]*lj%mod;
    int ans=0; init();
    for(int i=k,j=1;i<=n;i++,j=-j)
        ans=(ans+(ll)dp[i]*j*c[i][k])%mod;
    if(ans<0)ans+=mod; printf("%d\n",ans);
    return 0;
}