poj 2096 Collecting Bugs && ZOJ 3329 One Person Game && hdu 4035 Maze——期望DP

poj 2096

题目：http://poj.org/problem?id=2096

f[ i ][ j ] 表示收集了 i 个 n 的那个、 j 个 s 的那个的期望步数。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define db double
using namespace std;
const int N=1005;
db n,s,f[N][N];
int main()
{
  scanf("%lf%lf",&n,&s);db ml=n*s;
  for(int i=n;i>=0;i--)
    for(int j=s;j>=0;j--)
      {
    if(i==n&&j==s)continue;
    if(i<n)f[i][j]+=(n-i)*j/ml*f[i+1][j];
    if(j<s)f[i][j]+=i*(s-j)/ml*f[i][j+1];
    if(i<n&&j<s)f[i][j]+=(n-i)*(s-j)/ml*f[i+1][j+1];
    f[i][j]+=1;
    f[i][j]*=ml/(ml-i*j);
      }
  printf("%.4f\n",f[0][0]);
  return 0;
}

ZOJ 3329

题目：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=3754

高斯消元好像时间复杂度太高。

注意到每个位置都可以从 dp[ 0 ] 转移过来，所以可以想到每个 dp[ i ] 都可以表示成 a[ i ]*dp[ 0 ] + b[ i ] 的形式；这样如果算出了 a[ 0 ] 和 b[ 0 ] ，就能直接算出 dp[ 0 ] 了。

\( dp[i]=a[i]*dp[0]+b[i] \)

\( dp[i]=\sum\limits_{j=1}^{k}dp[i+j]*p[j] + dp[0]*p[0] + 1 \)

\( dp[i]=\sum\limits_{j=1}^{k}(a[i+j]*p[j]*dp[0]+b[i+j]*p[j]) + dp[0]*p[0] + 1 \)

\( dp[i]=((\sum\limits_{j=1}^{k}a[i+j]*p[j])+p[0])dp[0]+(\sum\limits_{j=1}^{k}b[i][j]*p[j])+1 \)

所以 \( a[i]=(\sum\limits_{j=1}^{k}a[i+j]*p[j])+p[0] \) ， \( b[i]=(\sum\limits_{j=1}^{k}b[i][j]*p[j])+1 \)

注意多组数据的清零。空间不是 505 而是 525 。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define db double
using namespace std;
int rdn()
{
  int ret=0;bool fx=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')fx=0;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
  return fx?ret:-ret;
}
const int N=525,M=20;
int n,c[5],t[5]; db p[M],a[N],b[N];
int main()
{
  int T=rdn();
  while(T--)
    {
      n=rdn();for(int i=1;i<=3;i++)c[i]=rdn();
      for(int i=1;i<=3;i++)t[i]=rdn();
      db tp=1.0/(c[1]*c[2]*c[3]); p[0]=tp;
      int lm=c[1]+c[2]+c[3];
      for(int i=1;i<=lm;i++)p[i]=0;//
      for(int i=1;i<=c[1];i++)
    for(int j=1;j<=c[2];j++)
      for(int k=1;k<=c[3];k++)
        {
          if(i==t[1]&&j==t[2]&&k==t[3])continue;
          p[i+j+k]+=tp;
        }
      for(int i=0;i<=n;i++)a[i]=p[0],b[i]=1;
      for(int i=n+1,j=n+lm;i<=j;i++)a[i]=b[i]=0;////
      for(int i=n;i>=0;i--)
    for(int j=1;j<=lm;j++)
      a[i]+=a[i+j]*p[j],b[i]+=b[i+j]*p[j];
      printf("%.10f\n",b[0]/(1-a[0]));
    }
  return 0;
}

hdu 4035

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4035

设 f[ i ] 表示现在在 i 号点，期望走几步离开迷宫。

数据范围无法高斯消元。

考虑把 f[ i ] 表示成 a[ i ] * f[ 1 ] + b[ i ] 的形式，这样才能在知道系数之后算出 f[ 1 ] 。它是从 1 号点开始走的，所以应该能表示成这样。

只是这样的话，转移还是没有顺序的。所以考虑把 f[ i ] 表示成 a[ i ] * f[ 1 ] + b[ i ] * f[ fa ] + c[ i ] 的形式。

\( f[i] = k[i]*f[1]+e[i]*0 + \frac{1-k[i]-e[i]}{d[i]}(f[fa]+1) + \frac{1-k[i]-e[i]}{d[i]}\sum\limits_{j \in child}(f[j]+1) \)

\( f[i] = a[i]*f[1]+b[i]*f[fa]+c[i] \) 　　令 \( s[i]=\frac{1-k[i]-e[i]}{d[i]} \)

\( f[i]=k[i]*f[1]+s[i]*f[fa]+s[i]+(d[i]-1])s[i]+s[i]\sum\limits_{j \in child}(a[j]*f[1]+b[j]*f[i]+c[j]) \)

\( f[i]=k[i]*f[1]+s[i]*f[fa]+d[i]*s[i]+s[i]\sum\limits_{j \in child}a[j]*f[1]+s[i]\sum\limits_{j \in child}b[j]*f[i]+s[i]\sum\limits_{j \in child}c[j] \)

\( (1-s[i]\sum\limits_{j \in child}f[i]=(k[i]+s[i]\sum\limits_{j \in child}a[j])f[1]+s[i]*f[fa]+d[i]*s[i]+s[i]\sum\limits_{j \in child}c[j] \)

答案就是 \( \frac{c[1]}{1-a[1]} \) 。当 \( 1 = a[1] \) 时无解。

精度开成 1e-8 会 WA ， 1e-9 就可以了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define db double
using namespace std;
int rdn()
{
  int ret=0;bool fx=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')fx=0;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
  return fx?ret:-ret;
}
const int N=1e4+5;const db eps=1e-10;
int n,hd[N],xnt,to[N<<1],nxt[N<<1],d[N];db k[N],e[N],s[N],a[N],b[N],c[N];
void add(int x,int y){to[++xnt]=y;nxt[xnt]=hd[x];hd[x]=xnt;d[x]++;}
void dfs(int cr,int fa)
{
  db tp=0;
  for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])
    if((v=to[i])!=fa)
      {
    dfs(v,cr);a[cr]+=a[v];c[cr]+=c[v];tp+=b[v];
      }
  a[cr]=a[cr]*s[cr]+k[cr]; b[cr]=s[cr]; c[cr]=c[cr]*s[cr]+d[cr]*s[cr];
  tp=1-tp*s[cr];
  a[cr]/=tp; b[cr]/=tp; c[cr]/=tp;
}
int main()
{
  int T=rdn();
  for(int t=1;t<=T;t++)
    {
      n=rdn();memset(hd,0,sizeof hd);xnt=0;
      for(int i=1;i<=n;i++)d[i]=0;
      for(int i=1,u,v;i<n;i++)
    u=rdn(),v=rdn(),add(u,v),add(v,u);
      for(int i=1;i<=n;i++)
    {
      k[i]=(db)rdn()/100;e[i]=(db)rdn()/100;
      s[i]=(1-k[i]-e[i])/d[i];
      a[i]=b[i]=c[i]=0;
    }
      dfs(1,0); printf("Case %d: ",t);
      if(fabs(1-a[1])<=eps)puts("impossible");
      else printf("%.10f\n",c[1]/(1-a[1]));
    }
  return 0;
}