bzoj 2395 [Balkan 2011]Timeismoney——最小乘积生成树

题目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2395

如果把 \( \sum t \) 作为 x 坐标，\( \sum c \) 作为 y 坐标，则每棵生成树都是二维平面上的一个点。

答案是二维平面上的一个下凸壳。先求出只考虑 t 的最小生成树和只考虑 c 的最小生成树，它们就是凸壳的两端。

已知两端，考虑递归下去，则要找到距离这两端构成的直线最远的点。

这就是点到直线的距离，等价于三个点组成的三角形面积最小；考虑叉积公式，得出面积关于要找的点的 x , y 坐标的式子，形如 A*x + B*y ；

给边权乘上系数，就能求最小生成树得到该点；如果面积是负的，就求最小生成树，否则求最大生成树。

判断是否不用再往下递归，本来写的是找到的那个点就是两端点之一，结果T了；写成找到的那个点在两端点的连线上就可以了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=205,M=1e4+5;
int n,m,fa[N],dep[N];
struct Ed{int t,c,w,x,y;}ed[M];
struct Node{
  int t,c;ll w;
  Node(){t=c=w=0;}
  bool operator== (const Node &b)const
  {return t==b.t&&c==b.c;}
}ans;
int rdn()
{
  int ret=0;bool fx=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')fx=0;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
  return fx?ret:-ret;
}
void frh(Node p){if(p.w<ans.w||(p.w==ans.w&&p.c<ans.c))ans=p;}
bool cmp(Ed u,Ed v){return u.w<v.w;}
int fnd(int a){return fa[a]==a?a:fa[a]=fnd(fa[a]);}
ll Cross(int x1,int y1,int x2,int y2)
{return (ll)x1*y2-(ll)x2*y1;}
Node calc(int t0,int t1)
{
  for(int i=1;i<=m;i++)ed[i].w=(ll)t0*ed[i].t+(ll)t1*ed[i].c;
  sort(ed+1,ed+m+1,cmp);
  memset(dep,0,sizeof dep);
  for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
  Node ret;
  for(int i=1,u,v,cnt=0;i<=m;i++)
    {
      if((u=fnd(ed[i].x))==(v=fnd(ed[i].y)))continue;
      if(dep[u]>dep[v])swap(u,v);
      fa[u]=v;if(dep[u]==dep[v])dep[v]++;
      ret.t+=ed[i].t;ret.c+=ed[i].c;
      cnt++;if(cnt==n-1)break;
    }
  ret.w=(ll)ret.t*ret.c;
  return ret;
}
void solve(Node p0,Node p1)
{
  int st=p1.c-p0.c,sc=p0.t-p1.t;
  Node res=calc(st,sc);frh(res);
  //  if(res==p0||res==p1)return;
  if(Cross(p1.t-res.t,p1.c-res.c,p0.t-res.t,p0.c-res.c)>=0)return;
  solve(p0,res); solve(res,p1);
}
int main()
{
  n=rdn();m=rdn();
  for(int i=1;i<=m;i++)
    ed[i].x=rdn()+1,ed[i].y=rdn()+1,ed[i].t=rdn(),ed[i].c=rdn();
  ans.t=ans.c=1e9;ans.w=1e18;
  Node p0=calc(0,1),p1=calc(1,0);
  frh(p0);frh(p1);
  solve(p0,p1);
  printf("%d %d\n",ans.t,ans.c);
  return 0;
}