bzoj 3157 && bzoj 3516 国王奇遇记——推式子

题目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3157

　　　https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3516

题解：http://blog.miskcoo.com/2014/06/bzoj-3157

没管 O(m) 的方法……

UPD（2019.2.20）：这样构造的思想大概是想要用 \( f(j) \) (j<=i) 来表示出 \( f(i) \) 。

　　考虑 \( f(m)=\sum\limits_{i=1}^{n}i^m*m^i \) ，那么要令 \( f(i) = \sum\limits_{k=1}^{n} k^i*i^k \) 还是 \( f(i) = \sum\limits_{k=1}^{n} k^i*m^k \) 还是 \( f(i) = \sum\limits_{k=1}^{n} k^m*i^k \) 呢？

　　想构造出那个递推关系，一种方法是乘上一个 ( * - 1 ) ，然后用二项式定理拆开，再把一些项合并成 \( f(j) \) 。

　　如果是这种方法的话， \( k^i \) 很好，因为在二项式的式子里，指数会变成一些较小的指数；而 \( i^k \) 则没有什么优势，所以令 \( f(i) = \sum\limits_{k=1}^{n}k^i*m^k \)

　　现在想从 \( k^i \) 入手，弄出一个 \( (k-1)^i \) 或者 \( (k+1)^i \)；一种方法是让后面那个 \( m^k \) 的指数变化1，也就是变成 \( m^{k+1} \) 或者 \( m^{k-1} \) ，这样改变一下枚举 k 的范围，就出现了 \( (k-1)^i \) 或者 \( (k+1)^i \) 了。

　　让 \( m^k \) 指数变化就是给 \( f(i) \) 乘上一个 m 。再要有一个作对比的 \( \sum\limits_k \) ，才能实现让乘了 m 的那部分的 \( \sum\limits_k \) 改变。所以乘上 ( m-1 ) 或者 ( m+1 ) 。然后就可以考虑推式子了。

注意特判 m==1 的时候。因为那个式子不支持 m==1 。

UPD（2019.3.22）：关于扰动法：https://www.cnblogs.com/meowww/p/6410869.html

　　大概就是把 \( \sum\limits_{i=1}^{n} \) 的式子写成 \( \sum\limits_{i=1}^{n+1} \) 的样子，放在等号两边。

　　然后一边把 i=n+1 的项拿出来，另一边把 i=1 的项拿出来。则另一边可以写成 \( \sum\limits_{i=1}^{n}(i+1)... \) ，就可以用二项式定理了。

　　对于这道题，生搬硬套一下，式子就可以这样推：

　　令 \( S_t=\sum\limits_{i=1}^{n}i^t * m^i \) ，则有

　　\( S_t + (n+1)^t m^{n+1} = m + \sum\limits_{i=2}^{n+1}i^t * m^i \)

　　　　　　　　　　　　\( = m + \sum\limits_{i=1}^{n}(i+1)^t * m^{i+1} \)

　　　　　　　　　　　　\( = m + m \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=0}^{t}\binom{t}{j}i^j * m^i \)

　　　　　　　　　　　　\( = m + m \sum\limits_{j=0}^{t}\binom{t}{j}S_j \)

　　　　　　　　　　　　\( = m + m*S_t + m \sum\limits_{j=0}^{t-1}\binom{t}{j}S_j \)

　　所以 \( (m-1)S_t = (n+1)^t m^{n+1} - m - m \sum\limits_{j=0}^{t-1}\binom{t}{j}S_j \) 

　　实测和之前那个式子输出结果一样。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1005,mod=1e9+7;
int n,m,s[N],c[N][N];
void upd(int &x){x>=mod?x-=mod:0;}
int pw(int x,int k)
{int ret=1;while(k){if(k&1)ret=(ll)ret*x%mod;x=(ll)x*x%mod;k>>=1;}return ret;}
void init()
{
  for(int i=0;i<=m;i++)c[i][0]=1;
  for(int i=1;i<=m;i++)
    for(int j=1;j<=i;j++)
      c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1],upd(c[i][j]);
}
int main()
{
  scanf("%d%d",&n,&m);init();
  if(m==1){printf("%lld\n",((ll)(1+n)*n>>1ll)%mod);return 0;}
  s[0]=(ll)m*(1-pw(m,n))%mod*pw(1-m,mod-2)%mod+mod,upd(s[0]);
  for(int i=1,ml=(ll)n*pw(m,n+1)%mod;i<=m;i++,ml=(ll)ml*n%mod)
    {
      int pls=0;
      for(int j=0,fx=(i&1?-1:1);j<i;j++,fx=-fx)
    pls=(pls+(ll)c[i][j]*s[j]*fx)%mod+mod,upd(pls);
      s[i]=(ll)(ml+pls)*pw(m-1,mod-2)%mod;
    }
  printf("%d\n",s[m]);
  return 0;
}