洛谷 4106 / bzoj 3614 [HEOI2014]逻辑翻译——思路+类似FWT

题目：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4106

　　　https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3614

可以先把给出的东西排序成这样：

-1 -1 -1

-1 -1  1

-1  1 -1

-1  1  1

 1 -1 -1

 1 -1  1

 1  1 -1

 1  1  1

就是后面看成低位、前面看成高位，1看成1、-1看成0的二进制的顺序。

发现把第1行和第2行相加再除以2，得到的就是与 x3 无关的所有系数 a 在 x1 = -1 , x2 = -1 的情况下的值；

第2行减第1行再除以2，得到的就是与 x3 有关的所有系数 a 在 x3 = 1 , x1 = -1 , x2 = -1 的情况下的值；

把所有行两个一组相加的答案放在一起考虑，就是所有与 x3 无关的系数在 x1 , x2 取 -1 , -1 ; -1 , 1 ; 1 , -1 ; 1 , 1 的情况下的值；相减的话就是 x1 , x2 取各种值，x3的值都是1的情况；这就是一个子问题了。

所有把所有行两个一组相加除以2的值放在前半部分，两个一组相减（下面减上面）除以2的值放在后半部分，大概就能做了。

最后第1行就是和所有 x 都无关的那个 a ，也就是常数项；第2行仔细考虑一下，是 x1 的系数。即，算出来的值在第 i 行的就是取 x 方案为 i （ i 就像状压了取哪些x乘起来的那一项）的项的系数。排序输出即可。

注意分数中途爆 int 。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=(1<<20)+5,M=25;
int n,bin[M],r[N]; char ch[M];
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
struct Node{
  int x,y;
  void yf()
  {
    if(!y||!x)return;
    if(y<0)y=-y,x=-x;
    int g=gcd(x>0?x:-x,y);x/=g;y/=g;
  }
  Node operator+ (const Node &b)const
  {
    Node c; c.y=(ll)y*b.y/gcd(y,b.y);
    c.x=(ll)x*c.y/y+(ll)b.x*c.y/b.y;
    c.yf(); return c;
  }
  Node operator- (const Node &b)const
  {
    Node u,v;u.x=x;u.y=y; v.x=b.x;v.y=-b.y;
    return u+v;
  }
}a[2][N];
bool cmp(int a,int b)
{
  for(int i=0;i<n;i++)
    {
      if(!a)return true; if(!b)return false;
      if((a&bin[i])&&(b&bin[i]))
    {
      a-=bin[i];b-=bin[i];continue;
    }
      if(!(a&bin[i])&&!(b&bin[i]))continue;
      if(a&bin[i])return true; if(b&bin[i])return false;
    }
}
void solve(int len)
{
  for(int i=0;i<len;i++)
    if(i<r[i])swap(a[0][i],a[0][r[i]]);
  for(int R=len,u=1,v=0;R>1;R>>=1,u=!u,v=!v)
    {
      int tot=-1;//here
      for(int i=0;i<len;i+=R)
    {
      for(int j=0;j<R;j+=2)
        {
          a[u][++tot]=a[v][i+j]+a[v][i+j+1];
          a[u][tot].y*=2; a[u][tot].yf();
        }
      for(int j=0;j<R;j+=2)
        {
          a[u][++tot]=a[v][i+j+1]-a[v][i+j];
          a[u][tot].y*=2; a[u][tot].yf();
        }
    }
    }
}
int main()
{
  scanf("%d",&n);
  bin[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)bin[i]=bin[i-1]<<1;
  for(int i=0;i<bin[n];i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)+((i&1)?bin[n-1]:0);
  for(int i=0;i<bin[n];i++)
    {
      scanf("%s",ch);
      long long d=0;
      for(int j=0;j<n;j++)
    d|=(ch[j]=='+'?bin[j]:0);
      double tmp; scanf("%lf",&tmp);
      a[0][d].x=(int)(tmp*100+(tmp>0?0.5:-0.5)); a[0][d].y=100;///round!
      a[0][d].yf();
    }
  solve(bin[n]);int fx=n&1;
  for(int i=0;i<bin[n];i++)r[i]=i;
  sort(r,r+bin[n],cmp);
  for(int i=0,u=r[0];i<bin[n];i++,u=r[i])
    if(a[fx][u].x)
      {
    printf("%d",a[fx][u].x);
    if(a[fx][u].y>1)printf("/%d",a[fx][u].y);
    if(u)
      {
        putchar(' ');
        for(int j=0;j<n;j++)
          if(u&bin[j])printf("x%d",j+1);
      }
    puts("");
      }
  return 0;
}

但这样空间在洛谷上能过， bzoj 上过不了。本来算下来就很大。

考虑不要把 a[ ] 开成滚动数组了。比如不要把两个一组相加的值放在前一半、相减的值放在后一半，而是把两行 i 和 i+1 相加的值放在第 i 行，相减的值放在第 i+1 行；这样就和 FWT 的模板长得更像，只开一个 a[ ] 而不用滚动也能应付过来。

考虑这样算了一次之后，下一次是哪里相加、相减。其实就相当于是原来的前一半，其间穿插上后一半的值；所以原来是前一半相邻两行再相加，现在就是隔一行相加；即原来是分治到前半部分和后半部分，现在是分治到奇数项和偶数项；这样下去就是 i 和 i+4 匹配、i 和 i+8 匹配……套上 FWT 的那个循环就行了。

仔细想一想，发现这样算出来，第1行是常数项，第2行是只和 x3 有关的项……也就是角标的二进制最低位是1表示有 x3 ，最高位是1表示有 x1 ……

如果一开始的排序是：

-1 -1 -1

 1 -1 -1

-1  1 -1

 1  1 -1

……

这样的话算出来的结果就是角标二进制最低位是1表示有x1……这样的。

输出可以写 dfs ，先搜这一位填1的，再搜这一位填0的；搜下一位之前输出一下，即每个方案在它填完最高位的1之后输出，如果是填了0就不输出，因为这个方案在最靠近的1被填了之后曾经输出过。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=(1<<20)+5,M=25;
int n,bin[M]; char ch[M];
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
struct Node{
  int x,y;
  void yf()
  {
    if(!y||!x)return;
    if(y<0)y=-y,x=-x;
    int g=gcd(x>0?x:-x,y);x/=g;y/=g;
  }
  Node operator+ (const Node &b)const
  {
    Node c; c.y=(ll)y*b.y/gcd(y,b.y);//ll
    c.x=(ll)x*c.y/y+(ll)b.x*c.y/b.y;
    //    return c;
    c.yf(); return c;
  }
  Node operator- (const Node &b)const
  {
    Node u,v;u.x=x;u.y=y; v.x=b.x;v.y=-b.y;
    return u+v;
  }
  void print(int id)
  {
    if(!x)return;
    yf();
    if(y>1)printf("%d/%d",x,y);
    else printf("%d",x);
    if(id)
      {
    putchar(' ');
    for(int i=0;i<n;i++)
      if(id&bin[i])printf("x%d",i+1);
      }
    puts("");
  }
}a[N];
void dfs(int cr,int ml)
{
  if(!cr||ml&bin[cr-1])  a[ml].print(ml);
  if(cr==n)return;
  dfs(cr+1,ml|bin[cr]);
  dfs(cr+1,ml);
}
int main()
{
  scanf("%d",&n); int len=(1<<n);
  bin[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)bin[i]=bin[i-1]<<1;
  for(int i=0;i<len;i++)
    {
      scanf("%s",ch);
      int d=0;
      for(int j=0;j<n;j++)
    d|=(ch[j]=='+'?bin[j]:0);
      double tmp; scanf("%lf",&tmp);
      a[d].x=round(tmp*100); a[d].y=100;
      a[d].yf();
    }
  for(int R=2;R<=len;R<<=1)
    {
      for(int i=0,m=R>>1;i<len;i+=R)
    for(int j=0;j<m;j++)
      {
        Node x=a[i+j],y=a[i+m+j];
        a[i+j]=x+y; a[i+m+j]=y-x;
        a[i+j].y*=2; a[i+j].yf();
        a[i+m+j].y*=2; a[i+m+j].yf();
      }
    }
  dfs(0,0);
  return 0;
}