[Codeforces 888G]Xor-MST

Description

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给你 $n$ 个节点，每个节点带有点权 $a$ 。点之间两两有连边，边 $(u,v)$ 的边权为 $a_u \oplus a_v$ 。求该图的最小生成树。

$1\leq n\leq  200000,0\leq a_i<2^{30}$

Solution

由 $Kruskal$ 的思想，我们一定还是每次选最小的边连接会最优。

考虑边的权值最小，由按位贪心的原则，显然最好让二进制低位的数值不同。

首先需要让高位相同，我们将所有权值转为二进制，那么就要二进制的前缀相同。

我们可以将权值插入 $Trie$ 中，对于 $Trie$ 中的每个节点，如果它有两个儿子，显然就需要在这个节点处合并左右子树（连边）。首先左右子树中的所有点显然是已经在一个连通块内的。我们只需要在左右子树的联通块中各选出一个点，连边即可。

如何选点？似乎没有更好的方法，那么就启发式合并，取出所有的在个数较小的联通块内的点，每一个都到另外一个联通块的子树中做一次查询，找出最小的边。每个点被选取的期望为 $O(\log_2 n)$ 。

时间复杂度： $O(mn\log_2 n)$ 。

空间复杂度： $O(mn\log_2 n)$ 。

值得一提的是其实这种求最小生成树的思想就是 $Boruvka$ 算法。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int N = 200000;
const LL INF = 1e18;

int n, a[N+5], A[40]; LL bin[40], ans;
struct Trie {
    int ch[N*35][2], bit[N*35+5], pos;
    vector<int>key[N*35];
    void insert(int t) {
        int u = 0; key[u].push_back(t);
        for (int i = 35; i >= 1; i--) {
            if (ch[u][A[i]] == 0) ch[u][A[i]] = ++pos; u = ch[u][A[i]];
            t -= bin[i-1]*A[i], key[u].push_back(t), bit[u] = i;
        }
    }
    LL qry(int u, int t) {
        LL ans = 0;
        for (int i = 1; i <= bit[u]-1; i++) A[i] = t%2, t /= 2;
        for (int i = bit[u]-1; i >= 1; i--) {
            if (ch[u][A[i]] != 0) u = ch[u][A[i]];
            else u = ch[u][A[i]^1], ans += bin[bit[u]-1];
        }
        return ans;
    }
    LL query(int o) {
        if (key[o].size() == 1) return 0;
        if (ch[o][0]) ans += query(ch[o][0]);
        if (ch[o][1]) ans += query(ch[o][1]);
        if (!ch[o][0] || !ch[o][1]) return 0;
        LL tmp = INF; int flag = 0;
        if (key[ch[o][0]].size() > key[ch[o][1]].size()) flag = 1;
        int sz = key[ch[o][flag]].size();
        for (int i = 0; i < sz; i++) tmp = min(qry(ch[o][flag^1], key[ch[o][flag]][i]), tmp);
        return tmp+bin[bit[o]-2];
    }
}T;

void work() {
    scanf("%d", &n); bin[0] = 1; for (int i = 1; i <= 35; i++) bin[i] = (bin[i-1]<<1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    sort(a+1, a+n+1); n = unique(a+1, a+n+1)-a-1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1, t = a[i]; j <= 35; j++) A[j] = t%2, t /= 2; T.insert(a[i]);
    }
    ans += T.query(0); printf("%lld\n", ans);
}
int main() {work(); return 0; }