[HNOI 2014]江南乐
Description
给你指定一个数 $f$ ,并给你 $T$ 组游戏,每组有 $n$ 堆石子, $A,B$ 两人轮流对石子进行操作,每次你可以选择其中任意一堆数量不小于 $f$ 的石子,平均分为 $m$ 份(即保证最大的一堆和最小的一堆中石子数量之差不超过 $1$ )。不能操作者负。
问先手是否有必胜策略。
$T<100,N<100,F<100000,每堆石子数量<100000$
Solution
首先对于组合游戏,该游戏的 $sg$ 函数是各个组分 $sg$ 函数的 $nim$ 和。
其次 $sg(x)=mex{sg(y)|y是x的后继状态}$ 。由这两个性质我们可以来求初始状态为 $n$ 态还是 $p$ 态。
设法来求 $sg(x)$ 。
我们可以枚举分的堆数 $i$ 。
为了使数量尽量平均,我们应该使分出来每堆的石子数量尽可能等于 $\lfloor\frac{x}{i}\rfloor$ ,如果每一堆分到$\lfloor\frac{x}{i}\rfloor$ 个石子,那么最后会多出 $x\mod i$ 个石子。
考虑把这些多出来的石子分别放在分出来的石子堆中,那么有 $x\mod i$ 堆会分到新的石子。
经过简单的计算,我们可以发现最后有 $x\mod i$ 堆分到了 $\lfloor\frac{x}{i}\rfloor+1$ 个石子,有 $ i-(x\mod i)$ 堆分到了 $\lfloor\frac{x}{i}\rfloor$ 。
由数论分块的思想,对于相同的块内,后继状态 $y$ 最多只有两种,由于相同的数异或可以抵消,我们可以通过判断 $x\mod i$ 和 $i-(x\mod i)$ 的奇偶性来缩小运算规模。
Code
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100000;
int sg[N+5], mex[N+5], t, F, n, x;
int f(int x) {
if (sg[x] != -1) return sg[x];
if (x < F) return sg[x] = 0;
sg[x] = 0;
for (int i = 2; i <= x; i = x/(x/i)+1) {
int tmp = 0;
if ((i-x%i)&1) tmp ^= f(x/i); if ((x%i)&1) tmp ^= f(x/i+1);
mex[tmp] = x;
if (i < x && (x/i == x/(i+1))) {
++i, tmp = 0;
if ((i-x%i)&1) tmp ^= f(x/i); if ((x%i)&1) tmp ^= f(x/i+1);
mex[tmp] = x;
}
}
while (mex[sg[x]] == x) ++sg[x];
return sg[x];
}
void work() {
memset(sg, -1, sizeof(sg));
scanf("%d%d", &t, &F); --t;
while (t--) {
scanf("%d", &n); int ans = 0; while (n--) scanf("%d", &x), ans ^= f(x); printf("%d ", (ans != 0));
}
scanf("%d", &n); int ans = 0; while (n--) scanf("%d", &x), ans ^= f(x); printf("%d\n", (ans != 0));
}
int main() {
work(); return 0;
}
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