[BZOJ 2440][中山市选2011]完全平方数

Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而这丝毫不影响他对其他数的热爱。
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了小X。小X很开心地收下了。
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试数据的组数。
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。 

Output

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

4
1
13
100
1234567

Sample Output

1
19
163
2030745

HINT

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9,  T ≤ 50

题解

既然要求没有平方因子，等价于这个数唯一分解后素因数次数均为 1 。显然就是求 $\mu\neq 0$ 的第 $K$ 个值。

然而 $K\leq 10^9$ 是存不下的。我们换一个思路。

我们试着枚举每个不含平方因子的数 $i$ 用容斥原理筛出。值得注意的是有贼有意思的事情：由莫比乌斯函数的定义，我们可以确定在 $N$ 内的满足题意的数的个数为 $$ans=N+\sum_{i=2}^{\sqrt N}\mu(i)\left\lfloor\frac{N}{i^2}\right\rfloor$$

所以二分答案，再 $O(\sqrt N)$ 检验即可。

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#include <set>
#include <map>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define Abs(a) ((a) < 0 ? (-(a)) : (a))
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define Swap(a, b) ((a) ^= (b), (b) ^= (a), (a) ^= (b))
#define writeln(x) (write(x), putchar('\n'))
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
using namespace std;
const int K = 1e9;
const int N = 1e5;
void read(int &x) {
    char ch; bool flag = 0;
    for (ch = getchar(); !isdigit(ch) && ((flag |= (ch == '-')) || 1); ch = getchar());
    for (x = 0; isdigit(ch); x = (x<<1)+(x<<3)+ch-48, ch = getchar());
    x *= 1-2*flag;
}
void write(LL x) {
    if (x > 9) write(x/10);
    putchar(x%10+48);
}

int n, m, mu[N+5];
int isprime[N+5], prime[N+5], tot;

void get_mu() {
    memset(isprime, 1, sizeof(isprime)); isprime[1] = 0, mu[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= N; i++) {
    if (isprime[i]) prime[++tot] = i, mu[i] = -1;
    for (int j = 1; j <= tot && i*prime[j] <= N; j++) {
        isprime[i*prime[j]] = 0;
        if (i%prime[j]) mu[i*prime[j]] = -mu[i];
        else {mu[i*prime[j]] = 0; break; }
    }
    }
}
int cal(int m, int k) {
    int n = sqrt(m); LL ans = m;
    for (int i = 2; i <= n; i++) ans += (LL)mu[i]*(m/i/i);
    return ans >= k;
}
void work() {
    read(n); int L = 1, R = n<<1, ans = n;
    while (L <= R) {
    int mid = ((LL)L+R)>>1;
    if (cal(mid, n)) ans = mid, R = mid-1;
    else L = mid+1;
    }
    writeln(ans);
}
int main() {
    int t; read(t); get_mu();
    while (t--) work();
    return 0;
}