[BZOJ 2693]jzptab

Description

给你 $n, m$ ，求 $\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m} lcm(i,j)$ 。

答案对100000009取模。

多组数据。

Input

第一行有一个正整数 $t$ 表示数据组数

接下来 $t$ 行每行有两个正整数 $n,m$

Output

$t$ 行，第 $i$ 行为第 $i$ 组询问的答案。

Sample input

1
4 5

Sample output

122

HINT

对于100%的数据： $t≤10000,n,m≤10^7$

$100000009$ 不是一个质数。

题解

由 [BZOJ 2154]Crash的数字表格 得到：对于每个询问 $(N,M)$，设 $g(x)=\mu(x)\cdot x^2$ ， $t(x)=\sum_{i=1}^{x}i=\frac{x\cdot(x+1)}{2}$ $$\Rightarrow ans=\sum_{d=1}^{min\{N,M\}}d\sum_{k=1}^{min\left\{\left\lfloor\frac{N}{d}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{M}{d}\right\rfloor\right\}}g(k)\cdot t\left(\left\lfloor\frac{N}{dk}\right\rfloor\right)\cdot t\left(\left\lfloor\frac{M}{dk}\right\rfloor\right)$$

但这个单个复杂度是 $O(N)$ 的，显然对于 $T$ 组询问 $O(T\cdot N)$ 是不行的。我这么菜是想不出正解的，只能颓题解了。

我们拿出 $dk$ 枚举 \begin{aligned}\Rightarrow ans&=\sum_{dk=1}^{min\{N,M\}}t\left(\left\lfloor\frac{N}{dk}\right\rfloor\right)\cdot t\left(\left\lfloor\frac{M}{dk}\right\rfloor\right)\cdot\sum_{d'\mid dk}\frac{dk}{d'}d'^2\mu(d')\\&=\sum_{dk=1}^{min\{N,M\}}t\left(\left\lfloor\frac{N}{dk}\right\rfloor\right)\cdot t\left(\left\lfloor\frac{M}{dk}\right\rfloor\right)\cdot dk\sum_{d'\mid dk}d'\mu(d')\end{aligned}

令 $f(x)=x\sum_{d\mid x}d\cdot \mu(d)$ $$\Rightarrow ans=\sum_{dk=1}^{min\{N,M\}}t\left(\left\lfloor\frac{N}{dk}\right\rfloor\right)\cdot t\left(\left\lfloor\frac{M}{dk}\right\rfloor\right)\cdot f(dk)$$

由于 $f(x)$ 是积性函数，线性筛的时候我们枚举数 $i$ 以及质数 $p$ 时，如果：

1. $i$ 是质数， $f(i)=i\cdot(1-i)$ 。因为 $\mu(1)=1,\mu(i)=-1$ 。
2. $p\nmid i$ ， $f(i\cdot p)=f(i)\cdot f(p)$ 。因为 $p$ 为质数，由满足 $p\nmid i$ 所以 $i,p$ 互质。满足积性函数的性质。
3. $p\mid i$ ， $f(i\cdot p)=f(i)\cdot p$ 。因为 $p$ 已经是 $i$ 的一个素因数。所以 $p$ 的出现不会再给求和式子新的贡献，故 $f(i\cdot p)$ 和 $f(i)$ 中的求和式是相等的，区别就只在前面的系数，分别是 $i\cdot p$ 和 $i$ ，所以补乘上 $p$ 即可。

 

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#include <set>
#include <map>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define Abs(a) ((a) < 0 ? (-(a)) : (a))
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define Swap(a, b) ((a) ^= (b), (b) ^= (a), (a) ^= (b))
#define writeln(x) (write(x), putchar('\n'))
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
using namespace std;
const int MOD = 100000009;
const int N = 1e7;
void read(int &x) {
    char ch; bool flag = 0;
    for (ch = getchar(); !isdigit(ch) && ((flag |= (ch == '-')) || 1); ch = getchar());
    for (x = 0; isdigit(ch); x = (x<<1)+(x<<3)+ch-48, ch = getchar());
    x *= 1-2*flag;
}
void write(int x) {
    if (x > 9) write(x/10);
    putchar(x%10+48);
}

int n, m, f[N+5];
int isprime[N+5], prime[N+5], tot;

void get_f() {
    memset(isprime, 1, sizeof(isprime)); isprime[1] = 0, f[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= N; i++) {
    if (isprime[i]) prime[++tot] = i, f[i] = (LL)i*(1-i)%MOD;
    for (int j = 1; j <= tot && i*prime[j] <= N; j++) {
        isprime[i*prime[j]] = 0;
        if (i%prime[j]) f[i*prime[j]] = (LL)f[i]*f[prime[j]]%MOD;
        else {f[i*prime[j]] = (LL)f[i]*prime[j]%MOD; break; }
    }
    }
    for (int i = 2; i <= N; i++) f[i] = (f[i]+f[i-1])%MOD;
}
int t(int x) {return (LL)(x+1)*x/2%MOD; }
int cal(int n, int m) {
    if (n > m) Swap(n, m); int ans = 0;
    for (int i = 1, last; i <= n; i = last+1) {
    last = Min(n/(n/i), m/(m/i));
    ans = (ans+(LL)t(n/i)*t(m/i)%MOD*(f[last]-f[i-1])%MOD)%MOD;
    }
    return ans;
}
void work() {
    read(n), read(m); writeln((cal(n, m)+MOD)%MOD);
}
int main() {
    int t; read(t); get_f();
    while (t--) work();
    return 0;
}