[HAOI 2009]逆序对数列

Description

对于一个数列{ai}，如果有i<j且ai>aj，那么我们称ai与aj为一对逆序对数。若对于任意一个由1~n自然数组成的

数列，可以很容易求出有多少个逆序对数。那么逆序对数为k的这样自然数数列到底有多少个？

Input

第一行为两个整数n，k。

Output

写入一个整数，表示符合条件的数列个数，由于这个数可能很大，你只需输出该数对10000求余数后的结果。

Sample Input

4 1

Sample Output

3

HINT

下列3个数列逆序对数都为1；分别是1 2 4 3 ；1 3 2 4 ；2 1 3 4；
100%的数据 n<=1000，k<=1000

题解

注意到逆序对的话，我们只在乎他们的相对数值，而不是具体是多少。

我们定义状态$f[i][j]$表示长度为$i$的排列，逆序对个数为$j$的方案数，显然我们转移的时候，考虑的是第$i$个数放在哪。

值得注意的是，这个数显然比之前的所有数都要大。即，我将$i$放在$i-j$的位置上，我将新获得$j$个逆序对。

我们容易想到$O(n^3)$的转移：

$$f[i][j] = {\sum_{k = 0}^{min(i-1, j)} f[i-1][j-k]}$$

边界情况是$f[1][0] = 1$。

$TLE$怎么办？前缀和优化一下就好了。

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#include <set>
#include <map>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Abs(x) ((x) < 0 ? (-(x)) : (x))
using namespace std;
const int N = 1000;
const int MOD = 10000;

int f[N+5][N+5], n, m;
int sum[N+5];

void work() {
    scanf("%d%d", &n, &m); f[1][0] = sum[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= m; i++) sum[i] = sum[i-1]+f[1][i];
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            (f[i][j] += sum[j]) %= MOD;
            if (Min(i-1, j) > 0) (f[i][j] -= sum[j-Min(i-1, j)-1]) %= MOD;
        }
        for (int j = 1; j <= m; j++) sum[j] = sum[j-1]+f[i][j];
    }
    printf("%d\n", (f[n][m]+MOD)%MOD);
}
int main() {
    work();
    return 0;
}