[TJOI 2017]异或和
Description
在加里敦中学的小明最近爱上了数学竞赛,很多数学竞赛的题都是与序列的连续和相关的。所以对于一个序列,求出它们所有的连续和来说,小明觉得十分的简单。但今天小明遇到了一个序列和的难题,这个题目不仅要求你快速的求出所有的连续和,还要快速的求出这些连续和的异或值。小明很快的就求出了所有的连续和,但是小明要考考你,在不告诉连续和的情况下,让你快速求是序列所有连续和的异或值。
Input
第一行输入一个n,表示这序列的数序列 第二行输入n个数字a1,a2...an代表这个序列
0<=a1,a2,...an,0<=a1+a2...+an<=10^6
Output
输出这个序列所有的连续和的异或值
Sample Input
3
1 2 3
Sample Output
0
Hint
【样例解释】
序列1 2 3有6个连续和,它们分别是1 2 3 3 5 6,则1 xor 2 xor 3 xor 3 xor 5 xor 6 = 0
【数据范围】
对于20%的数据,1<=n<=100
对于100%的数据,1<=n <= 10^5
题解
难得一道省选题看一眼就有思路的。一般这种异或都是按位一位一位做的。
定义$sum$为前缀和,我们开两个权值树状数组,一个表示处理到第$i$位时,$sum[j]$的第$i$位为$1$,$0$~$j-1$中$sum$的$1$~$i-1$位的值域,另一个表示$sum[j]$的第$i$位为$0$的情况。
统计答案时,有两种情况:
1.$sum[j]$的第$i$位为$1$,由于$sum$数组是单调递增的(这是一个很重要的性质),那么以$j$为子序列右端点的子序列第$i$位为$1$的情况只有两种:
(1)左端点第$i$位为$0$,并且$1$~$i-1$位小于右端点($j$)的$1$~$i-1$位;
(2)左端点第$i$位为$1$,并且$1$~$i-1$位大于右端点($j$)的$1$~$i-1$位。(这里特别说明一下,因为刚才说过了$sum$单调递增,所以能够保证减出来不会出现负数)
2.$sum[j]$的第$i$位为$0$,那么以$j$为子序列右端点的子序列第$i$位为$1$的情况也只有两种:
(1)左端点第$i$位为$1$,并且$1$~$i-1$位小于右端点($j$)的$1$~$i-1$位;
(2)左端点第$i$位为$0$,并且$1$~$i-1$位大于右端点($j$)的$1$~$i-1$位。
其实就是竖式减法。
//It is made by Awson on 2017.9.28 #include <set> #include <map> #include <cmath> #include <ctime> #include <queue> #include <stack> #include <vector> #include <cstdio> #include <string> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <iostream> #include <algorithm> #define LL long long #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b)) #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b)) #define sqr(x) ((x)*(x)) #define lowbit(x) ((x)&(-(x))) using namespace std; const int N = 1e5; const int bit_size = 1e6; int st[25]; void read(int &x) { char ch; bool flag = 0; for (ch = getchar(); !isdigit(ch) && ((flag |= (ch == '-')) || 1); ch = getchar()); for (x = 0; isdigit(ch); x = (x<<1)+(x<<3)+ch-48, ch = getchar()); x *= 1-2*flag; } int sum[N+5], a[N+5]; int c[bit_size+5][2]; int n, maxn; void add(bool bit, int x) { for (; x <= maxn+1; x += lowbit(x)) c[x][bit]++; } int cunt(bool bit, int x) { int cnt = 0; for (; x; x -= lowbit(x)) cnt += c[x][bit]; return cnt; } void work() { st[0] = 1; for (int i = 1; i <= 20; i++) st[i] = st[i-1]<<1; read(n); for (int i = 1; i <= n; i++) read(sum[i]), sum[i] += sum[i-1]; maxn = sum[n]; int ans = 0; for (int i = 0; i <= 20; i++) { if (st[i] > maxn) break; memset(c, 0, sizeof(c)); add(0, 1); int flag = 0; for (int j = 1; j <= n; j++) { int tmp = st[i]&sum[j], cnt; if (tmp) cnt = cunt(0, a[j]+1)+cunt(1, maxn+1)-cunt(1, a[j]+1); else cnt = cunt(1, a[j]+1)+cunt(0, maxn+1)-cunt(0, a[j]+1); if (cnt%2) flag ^= 1; add((bool)(tmp), a[j]+1); a[j] |= tmp; } ans |= st[i]*flag; } printf("%d\n", ans); } int main() { work(); return 0; }