[BZOJ 2818]Gcd

Description

给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的
数对(x,y)有多少对.

Input

一个整数N

Output

如题

Sample Input

4

Sample Output

4

HINT

对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)
1<=N<=10^7

题解

由题，我们需要求

$$\sum_{i=1} ^N\sum_{j=1} ^N[gcd(i,j)为质数]$$

我们不妨令$p=gcd(i,j)$，即$p$为质数，

显然我们不可能去枚举每个$i$,$j$，我们考虑去枚举每个质数$p$，原式化为

$$\sum_p\sum_{i=1}^{\lfloor {N \over p} \rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor {N \over p} \rfloor}[gcd(i,j)=1]$$

我们取出数对$(i,j)$

1.若$i>j$，我们发现对于式子

$$\sum_p\sum_{i=1}^{\lfloor {N \over p} \rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor {N \over p} \rfloor}[gcd(i,j)=1]$$

可化为

$$\sum_p\sum_{i=1}^{\lfloor {N \over p} \rfloor}\sum_{j=1}^{i-1}[gcd(i,j)=1]$$

取出

$$\sum_{i=1}^{\lfloor {N \over p} \rfloor}\sum_{j=1}^{i-1}[gcd(i,j)=1]$$

发现，这其实就是欧拉函数$φ$的定义式（先不考虑$φ(1)=1$）。

那么原式就可以化为

$$\sum_p\sum_{i=1}^{\lfloor {N \over p} \rfloor}φ(i)$$

结论。

2.若$i=j$，这种条件下只有$i=j=p$符合条件，显然最后我们只要将答案加上素数的个数就可以了。

3.若$i<j$，实际上只要交换$i$，$j$位置即可，我们只需要将1.得出的结论$×2$即可。

#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define RE register
#define IL inline
using namespace std;
const int N=1e7;

int n;

bool isprime[N+5];
int prime[N+5],top;
int phi[N+5];
IL void Pre();

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    Pre();
    LL ans=0;
    for (RE int i=1;i<=top;i++)
    {
        int lim=n/prime[i];
        for (RE int j=1;j<=lim;j++) ans+=phi[j];
    }
    ans=ans*2+top;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

IL void Pre()
{
    for (RE int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!isprime[i]) phi[i]=i-1,prime[++top]=i;
        for (RE int j=1;j<=top&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            isprime[i*prime[j]]=1;
            if (!(i%prime[j])) {phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
        }
    }
}

其实统计答案的第二层循环可以用前缀和优化。

//It is made by Awson on 2018.1.12
#include <set>
#include <map>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define Swap(a, b) ((a) ^= (b), (b) ^= (a), (a) ^= (b))
using namespace std;
const int N = 1e7;
void read(int &x) {
    char ch; bool flag = 0;
    for (ch = getchar(); !isdigit(ch) && ((flag |= (ch == '-')) || 1); ch = getchar());
    for (x = 0; isdigit(ch); x = (x<<1)+(x<<3)+ch-48, ch = getchar());
    x *= 1-2*flag;
}
void write(LL x) {
    if (x > 9) write(x/10);
    putchar(x%10+48);
}

int n, isprime[N+5], prime[N+5], tot;
LL phi[N+5], ans;

void get_phi() {
    memset(isprime, 1, sizeof(isprime)); isprime[1] = 0;//, phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
    if (isprime[i]) phi[i] = i-1, prime[++tot] = i;
    for (int j = 1; j <= tot && i*prime[j] <= n; j++) {
        isprime[i*prime[j]] = 0;
        if (!(i%prime[j])) {phi[i*prime[j]] = phi[i]*prime[j]; break; }
        else phi[i*prime[j]] = phi[prime[j]]*phi[i];
    }
    }
}
void work() {
    read(n); get_phi();
    for (int i = 1; i <= n; i++) phi[i] += phi[i-1];
    for (int i = 1; i <= tot; i++) ans += phi[n/prime[i]];
    write(ans*2+tot);
}
int main() {
    work();
    return 0;
}