[Codeforces 1265E]Beautiful Mirrors

Description

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一共有 $n$ 个关卡，你初始在第一个关卡。通过第 $i$ 个关卡的概率为 $p_i$。每一轮你可以挑战一个关卡。若通过第 $i$ 个关卡，则进入第 $i+1$ 个关卡，否则重新回到第 $1$ 个关卡。通过第 $n$ 个关卡则算成功。问期望多少轮游戏才能成功。

$1\leq n\leq 2\cdot 10^5$

Solution

设从第 $i$ 个关卡通关的期望为 $E_i$。显然
$$
E_i=p_i(E_{i+1}+1)+(1-p_i)(E_1+1)
$$

特别地，$E_{n+1}=0$，且答案为 $E_1$。

那么有
$$
E_1=p_1(E_2+1)+(1-p_1)(E_1+1)\Rightarrow E_1=\frac{1}{p_1}+E_2
$$

同理将上述式子代入
$$
E_2=p_2(E_3+1)+(1-p_2)(E_2+1)\Rightarrow E_1=\frac{1+\frac{1}{p_1}}{p_2}+E_3
$$

继续推导可以发现答案为
$$
E_1=\frac{1+\frac{1+\frac{1+\cdots}{p_{n-2}}}{p_{n-1}}}{p_n}
$$

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int yzh = 998244353;

int quick_pow(int a, int b) {
    int ans = 1;
    while (b) {
        if (b&1) ans = 1ll*ans*a%yzh;
        b >>= 1, a = 1ll*a*a%yzh;   
    }
    return ans;
}
int main() {
    int ans = 0, p, n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &p);
        ans = (ans+1)%yzh;
        ans = 1ll*ans*100%yzh*quick_pow(p, yzh-2)%yzh;
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}