[BZOJ 2134]单选错位

Description

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共有 $n$ 道单选题，第 $i$ 道单选题有 $a_i$ 个选项，这 $a_i$ 个选项编号是 $1,2,3,…,a_i$，每个选项成为正确答案的概率都是相等的。你把答案抄到答题纸上，没想到抄错位了：第 $i$ 道题目的答案抄到了答题纸上的第 $i+1$ 道题目的位置上，特别地，第 $n$ 道题目的答案抄到了第 $1$ 道题目的位置上。假设你没有做错任何题目，只是答案抄错位置，求期望能做对几道题目。

$2\leq n\leq 10000000,1\leq a_i\leq 100000000$

Solution

假设第 $i$ 道题有 $x$ 个选项，第 $i+1$ 题有 $y$ 个选项。

1. $x=y$，显然此时做对第 $i+1$ 题的概率 $p=\frac{1}{x}=\frac{1}{y}$；
2. $x>y$，由条件概率的思想，做对第 $i+1$ 题的概率为第 $i$ 题的选项在 $i+1$ 题中可行的前提下，在 $i+1$ 题中正确的概率，那么 $p=\frac{y}{x}\times\frac{1}{y}=\frac{1}{x}$；
3. $x<y$，同理，做对第 $i+1$ 题的概率为第 $i+1$ 题的正确选项在 $i$ 题中可行时选中的概率，那么 $p=\frac{x}{y}\times\frac{1}{x}=\frac{1}{y}$。

综上，做对第 $i+1$ 题的概率为 $p=\frac{1}{\max{a_{i},a_{i+1}}}$。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 10000000+5;

int n, A, B, C, a[N];
double ans;

int main() {
    scanf("%d%d%d%d%d", &n, &A, &B, &C, a+1);
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        a[i] = (1ll*a[i-1]*A+B)%100000001;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        a[i] = a[i]%C+1;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        ans += 1./max(a[i], a[i-1]);
    ans += 1./max(a[n], a[1]);
    printf("%.3lf\n", ans);
    return 0;
}