总体统计量的估计方法

目录

• 总体统计量的估计方法
  • 1 点估计量法
    • 1.1 通过样本估算总体均值
    • 1.2 通过样本估算总体方差
    • 1.3 通过样本估算总体比例
    • 1.4 比例的抽样分布（通过总体计算样本）
    • 1.5 均值的抽样分布（通过总体计算样本）
  • 2 置信区间的构建
    • 2.1 认识置信区间
    • 2.2 求解置信区间
      • 2.2.1 选择总体统计量
      • 2.2.2 求出所选统计量的抽样分布
      • 2.2.3 决定置信水平
      • 2.2.4 求出置信上下限
    • 2.3 置信区间的简便算法

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正文

总体统计量的估计方法

1 点估计量法

可以用点估计量来估计总体的均值、方差或一定比例的精确值。但是无法可定估计完全正确，只是对总体做出假设。

1.1 通过样本估算总体均值

符号定义：

• μμ：总体均值。
• μ^μ：总体均值的点估计量，在总体均值未知时，其可作为总体均值的估计值。
• x¯x¯：样本均值，和总体均值的计算方法一样。

如果想要十分近似的估计总体均值，可以用下列算式估算总体均值：

x¯=∑xnx¯=∑xn

即用样本均值作为总体均值的点估计量：

μ^=x¯μ=x¯

1.2 通过样本估算总体方差

符号定义：

• σ2σ2：总体方差。
• σ^2σ2：总体方差的点估计量，在总体方差未知时，其可作为总体方差的估计值。
• s2s2：总体方差点估计量表示符号

一个数据集的方差度量的是数值与均值的偏离程度。当选择一个样本后，相比总体，样本总的数值数量变少了，因此与总体中数值的偏离程度相比，样本中的数值，可能更紧密的聚集在数值周围。极端数值在样本中出现的可能性下降，这是因为总的来说这样的数值变少了了。所以用样本方差来估计总体方差会出现这样的问题：估计结果会稍微偏低，样本方差可能会略小于总体方差，差别程度取决于样本的大小。样本较小时，样本方差与总体方差的差别有可能更大。

如果样本大小为nn，可以用下列算式估算总体方差：

s2=∑(x−x¯)2n−1s2=∑(x−x¯)2n−1

没有用样本方差而是用上述算式作为总体方差的点估计量：

σ^2=s2σ2=s2

如果需要计算总体方差的真实值，需要使用如下算式：

σ2=∑(x−μ)2nσ2=∑(x−μ)2n

1.3 通过样本估算总体比例

符号定义：

• pp：总体成功比例。
• p^p：总体成功比例的点估计量。
• PsPs：样本成功比例。

对于符合二项分布的总体，用XX表示总体成功事件的数量，参数为nn和pp。nn为总体的人数，pp为成功事件的比例。

就像总体均值最接近的估计值是样本均值一样，总体成功比例最接近的估计值是样本成功比例。样本比例算式如下：

Ps=成功数目样本数目Ps=成功数目样本数目

即用样本成功比例作为总体成功比例的点估计量：

p^=Psp=Ps

1.4 比例的抽样分布（通过总体计算样本）

符号定义：

• pp：总体成功比例。
• PsPs：样本成功比例。

一大盒包装糖可供数人分享，每盒有100粒糖球，糖球总体中有25%是红色的。现在要求一大盒特定糖球中有40颗或40颗以上红色糖球的概率。总体参数已知，需要为某一盒糖球计算概率。也就是说计算的不是总体概率，而是样本比例的概率。为此，需要得出样本比例的概率分布：

• 查看与特定样本大小相同的所有样本：如果样本大小为n，则需要考虑所有大小为n的可能样本。本例中，样本单位为盒，样本大小为100，即n为100。
• 观察所有样本比例形成的分布，然后求出比例的期望和方差：每一个样本都有自己的情况，因此每个包装盒里红色糖球的比例都有可能发生变化。
• 得出比例分布后，利用分布求出概率：得知一个样本中”成功比例“的分布后，就能够利用这个分布求出一个随机样本的比例概率，这里的随机样本是一大盒糖球。

此例总，pp总体成功比例代表总体中红色糖球的比例，即p=0.25p=0.25。

每一盒糖球都是从总体中抽取的一个样本。每盒有100个糖球，因此样本大小nn为100。如果用随机变量XX表示样本中红球的数量，则XX服从二项分布，表示为X∼B(n,p)X∼B(n,p)，其中n=100n=100，p=0.25p=0.25。

样本中红色糖球的比例取决于XX，样本中红色糖球的数目，即比例本身是一个随机变量，可将其记为PsPs，且Ps=XnPs=Xn。

可以取出大小为nn的可能样本为数众多，每一个可能样本包含nn颗糖球，每个可能样本中红色糖球都服从同一分布，即X∼B(n,p)X∼B(n,p)，且样本中红色糖球的比例为Ps=XnPs=Xn。

利用所有可能的样本，能得出所有样本比例的 分布，该分布称作比例的抽样分布，或者称作PsPs的分布。

利用比例的抽样分布，能够求出某一个随机选择的、大小为nn的样本的"成功比例"的概率（本例中即为，利用比例的抽样分布，能够求出某一大盒糖球中红色糖球比例至少为40%的概率）。

在此之前，还需要知道PsPs分布的期望和方差。

PsPs分布的期望：

E(Ps)=E(Xn)=E(X)nE(Ps)=E(Xn)=E(X)n

上式中XX为样本中红色糖球的数量，其服从二项分布X∼B(n,p)X∼B(n,p)，所以上式的结果为：

E(Ps)=E(Xn)=E(X)n=npn=pE(Ps)=E(Xn)=E(X)n=npn=p

可以期望样本的成功比例和总体的成功比例一样，上述结果也证明确实如此。

*PsPs分布的方差：***

*Var(Ps)=Var(Xn)=Var(X)n2Var(Ps)=Var(Xn)=Var(X)n2*

上式中XX为样本中红色糖球的数量，其服从二项分布X∼B(n,p)X∼B(n,p)，所以上式的结果为：

Var(Ps)=Var(Xn)=Var(X)n2=npqn2=pqnVar(Ps)=Var(Xn)=Var(X)n2=npqn2=pqn

取方差的平方根，可得PsPs的标准差，它指出样本比例与pp（样本比例均值）的可能差距。有时称作比例标准误差，因为它能指出样本比例的可能误差。

比例标准误差=pqn−−−√比例标准误差=pqn

在求得PsPs的期望和方差后，发现当nn足够大（大于30）时，PsPs的分布越接近正太分布，可表示为：

Ps∼N(p,pqn)Ps∼N(p,pqn)

由于当n>30n>30时，PsPs接近正太分布，可以用正太分布来解答“某一大盒糖球中红色糖球比例至少为40%的概率”。最后需要对抽样分布进行连续性修正。

1.5 均值的抽样分布（通过总体计算样本）

符号定义：

• μμ：总体均值。
• σ2σ2：总体方差。
• XX：一个包装袋中糖球的数量。
• X¯X¯：nn袋糖球的容量均值。

经过统计，每一袋小包装袋中糖球数目的均值为10，方差为1。现遭到顾客投诉：买了30袋糖球，结果发现每袋糖球中糖球的平均数目只有8.5。那么，这种事情发生的概率为多大。已知总体的均值和方差，然后抽取几袋糖球作为样本，需要计算样本均值的概率。为此，需要得出样本均值的概率分布：

• 查看与所研究样本大小相同的所有可能样本：如果样本大小为nn则需要考虑所有大小为为nn的样本。此例中小包装糖球有30袋，因此样本大小n=30n=30。
• 查看所有样本的分布，求出样本均值的期望和方差：每一个样本都有各自的特点，每个包装袋中的糖球数目都有变化。
• 得知样本均值的概率分布后，利用该分布求出概率：只要知道所有可能样本的样本均值的概率分布，就能利用该分布求得一个随机样本的样本均值的概率。此例中，随机样本为小袋包装糖球。

随机选出的每一袋糖球都是XX的独立观察结果。因此，每一袋糖球都服从同一分布，即如果用XiXi代表随机抽取一袋糖球中糖球的数量，则每个XiXi的期望都是μμ，方差都是σ2σ2。

现在取nn包糖球作为样本，用X1X1到XnXn标记每袋糖球的数量，每个XiXi都是XX的独立观察结果，且服从上述分布。

用X¯X¯表示nn袋糖球的容量均值，X¯X¯的公式：

X¯=X1+X2+⋅⋅⋅+XnnX¯=X1+X2+⋅⋅⋅+Xnn

可以取出大小为nn的所有可能样本。每一个样本都包含nn袋糖球，即每一个样本都包含XX的nn个独立观察结果。每个随机选择的包装中的糖球数量都服从相同的正太分布。可以用同样的方法计算每个样本的糖球数量均值。

从所有可能的样本得出的样本均值形成一个分布，称作均值的抽样分布，或称作X¯X¯的分布。

均值的抽样分布提供了一种计算样本均值概率的方法（本例中，即为在一个30袋糖球的样本中，求糖球数目均值小于或等于8.5的概率）。

在次之前，需要知道X¯X¯分布的期望和方差。

X¯X¯分布的期望：

E(X¯)=E(X1+X2+⋅⋅⋅+Xnn)=E(X1n)+E(X2n)+⋅⋅⋅+E(Xnn)=E(X1)+E(X2)⋅⋅⋅+E(Xn)nE(X¯)=E(X1+X2+⋅⋅⋅+Xnn)=E(X1n)+E(X2n)+⋅⋅⋅+E(Xnn)=E(X1)+E(X2)⋅⋅⋅+E(Xn)n

上式中XiXi服从同一分布，且期望为μμ，方差为σ2σ2。所以上式结果为：

E(X¯)=μ+μ+⋅⋅⋅+μn=nμn=μE(X¯)=μ+μ+⋅⋅⋅+μn=nμn=μ

*X¯X¯分布的方差*：

Var(X¯)=Var(X1+X2+⋅⋅⋅+Xnn)=Var(X1n)+Var(X2n)+⋅⋅⋅+Var(Xnn)=Var(X1)+Var(X2)+⋅⋅⋅+Var(Xn)n2Var(X¯)=Var(X1+X2+⋅⋅⋅+Xnn)=Var(X1n)+Var(X2n)+⋅⋅⋅+Var(Xnn)=Var(X1)+Var(X2)+⋅⋅⋅+Var(Xn)n2

上式中XiXi服从同一分布，且期望为μμ，方差为σ2σ2。所以上式结果为：

Var(X¯)=σ2+σ2+⋅⋅⋅+σ2n2=nσ2n2=σ2nVar(X¯)=σ2+σ2+⋅⋅⋅+σ2n2=nσ2n2=σ2n

取方差的平方根，可得X¯X¯的标准差，其指出样本均值与μμ可能偏离的距离，因此也称作均值标准误差。

=σ2n−−−√=σn−−√=σ2n=σn

nn越大，均值标准误差越小。也就是说，样本中的个体越多，作为总体均值估计量的样本均值越可靠。

在求得X¯X¯的期望和方差后，还需要知道X¯X¯是如何分布的：

• 当XX符合正太分布时，即若X∼N(μ,σ2)X∼N(μ,σ2)，那么X¯∼N(μ,σ2n)X¯∼N(μ,σ2n)。
• 当XX不符合正太分布时，若nn足够大（大于30）时，那么X¯∼N(μ,σ2n)X¯∼N(μ,σ2n)。

上述第二条结论的依据是中心极限定理：如果从一个非正太总体XX中取出一个样本，若样本足够大（大于30），则样本均值X¯X¯的分布近似正太分布。

最后此例中求P(X¯<8.5)P(X¯<8.5)的概率，使用上述X¯X¯的概率分布即可。

2 置信区间的构建

点估计量可以估计总体的均值、方差或一定比例的精确值。但无法保证估计完全正确。因为仅依靠一个样本对总体做出估计，若样本出现问题，这个估计就会不准确。而置信区间是一种考虑了不确定性的总体统计量的估计方法，用一个区间而不是一个精确值来估计总体统计量。

2.1 认识置信区间

曼帝糖果公司用一个包含100粒糖球的样本得出口味持续时间均值的点估计量为62.7分钟，同时总体方差的点估计量为25分钟。首席执行官在电视节目的黄金时段宣布：糖球口味的平均持续时间为62.7分钟。这是根据手头证据可能得出的最可靠的口味持续时间估计值。可要略有差池，该怎么办？

以上是由精度引起的问题，点估计量很可能接近总体均值，问题是多接近才是够接近？与其用一个精确值作为总体均值的估计值，不如使用另一种方法。可以指定某一区间而不是一个十分精确的时间，作为糖球口味持续时间的估计。例如，可以说糖球口味的持续时间为55至65分钟，这仍会让听着觉得糖球口味的持续时间接近1小时，却保留更大的误差空间。那么，如果为总体均值指定一个区间，而不是一个精确的数值，我们期望糖球口味持续时间的均值介于这个区间内。让均值的点估计量处于这个区间（(a,b)(a,b)）的中央，并将这个区间的上下限设定为均值点估计量加上或减去某个误差。

选择区间上下限是为了让总体均值介于aa和bb之间这一结果具有特定概率。例如，希望通过选择aa和bb，使得该区间包含总体均值的概率为95%。也就是说选择的aa和bb使得：

P(a<μ<b)=0.95P(a<μ<b)=0.95

用(a,b)(a,b)表示这个区间，由于aa和bb的数值取决于自己对*该区间包含总体均值*这一结果具有的可信程度（置信度或置信水平），因此，(a,b)(a,b)被称为置信区间。

2.2 求解置信区间

• 选择总体统计量：用于构建置信区间的总体统计量。
• 求出其抽样分布：比例抽样分布或均值抽样分布等。
• 决定置信水平：置信区间包含该统计量的概率。
• 求出置信上下限：为了求出上下限，需要知道抽样分布和置信水平。

求出糖果口味持续时间的置信区间。

2.2.1 选择总体统计量

在此例中需要为糖球口味持续时间构建一个置信区间，也就是为总体均值μμ构建一个置信区间。

2.2.2 求出所选统计量的抽样分布

为了求出总体均值的抽样分布，需要知道均值的抽样分布（X¯X¯分布）的期望和方差 。根据点估计量法可知：

E(X¯)=μE(X¯)=μ

Var(X¯)=σ2nVar(X¯)=σ2n

为了利用上述结果求出μμ的置信区间，带入总体方差数值σ2σ2和样本大小nn。但是，现在只知道样本的均值为100，样本方差为25，并不知道总体的方差。所以用样本的方差进行估算。于是均值的抽样分布的期望和方差为：

E(X¯)=μE(X¯)=μ

Var(X¯)=σ2n=σ^{2n=s2nVar(X¯)=σ2n=σ}2n=s2n

糖果公司用包含100颗糖球的样本计算估计值，得到s2=25s2=25，于是：

Var(X¯)=s2n=25100=0.25Var(X¯)=s2n=25100=0.25

为了求出μμ的置信区间，还需要知道X¯X¯的分布。

假定X∼N(μ,σ2)X∼N(μ,σ2)，且样本数量包含很大，那么

X¯∼N(μ,σ2n)X¯∼N(μ,σ2n)

或

X¯∼N(μ,0.25)X¯∼N(μ,0.25)

2.2.3 决定置信水平

置信水平表明对于置信区间包含总体统计量这一结果由多大把握。例如，希望总体均值的置信水平为95%，表示总体均值处于置信区间的概率为95%。常用的置信水平为95%。

Tips:置信水平越高，置信区间越宽，置信区间包含总体统计量的概率越大。

2.2.4 求出置信上下限

最后一步求出aa和bb，即置信上下限。其值确切取决于需要使用的抽样分布以及需要的置信水平。

此例，让糖球口味持续时间具有95%的置信水平。即μμ位于区间(a,b)(a,b)的概率为95%。则可利用X¯∼N(μ,0.25)X¯∼N(μ,0.25)分布求出aa和bb，例如P(X¯<a)=0.025P(X¯<a)=0.025和P(X¯>b)=0.025P(X¯>b)=0.025。

对X¯X¯进行标准化：

Z=X¯−μ0.25−−−−√Z=X¯−μ0.25

其中：

Z∼N(0,1)Z∼N(0,1)

标准化后，转为求P(za<Z<zb)=0.95P(za<Z<zb)=0.95，查询标准正太分布表得知，za=−1.96za=−1.96和zb=1.96zb=1.96，即：

P(−1.96<X¯−μ0.5<1.96)=0.95P(−1.96<X¯−μ0.5<1.96)=0.95

用μμ改写不等式，即得到其置信区间：

P(X¯−0.98<μ<X¯+0.98)=0.95P(X¯−0.98<μ<X¯+0.98)=0.95

X¯X¯指样本均值的分布，于是采用糖果公司样本的x¯x¯值（62.7），计算出置信区间为(61.72,63.68)(61.72,63.68)。

2.3 置信区间的简便算法

只需要查看要求的总体统计量、总体分布以及各种条件，然后带入总体统计量或其估计量，就行了。数值cc取决于置信水平。

• 总体统计量μμ；总体呈正太分布；σ2σ2已知、nn可大可小、X¯X¯为样本均值；则置信区间为：(X¯−cσn√,X¯+cσn√)(X¯−cσn,X¯+cσn)
• 总体统计量μμ；总体呈非正太分布；σ2σ2已知、nn很大（至少30）、X¯X¯为样本均值；则置信区间为：(X¯−cσn√,X¯+cσn√)(X¯−cσn,X¯+cσn)
• 总体统计量μμ；总体呈正太或非正态；；σ2σ2未知、nn很大（至少30）、X¯X¯为样本均值、s2s2为样本方差；则置信区间为：(X¯−csn√,X¯+csn√)(X¯−csn,X¯+csn)
• 总体统计量为pp；总体呈二项分布；nn很大、psps为样本比例、qs=1−psqs=1−ps；则置信区间为：(ps−cpsqsn−−−√,ps+cpsqsn−−−√)(ps−cpsqsn,ps+cpsqsn)
• 总体统计量为μμ；总体呈正太或非正太；*σ2σ2*未知、*nn*很小（小于30）、*X¯X¯*为样本均值、s2s2为样本方差；则置信区间为：(X¯−t(v)sn√,X¯+t(v)sn√)(X¯−t(v)sn,X¯+t(v)sn)

Tips:t(v)t(v)是自由度为v=n−1v=n−1的tt分布。

cc值的确定方法：

• 置信水平90%，则c=1.64c=1.64
• 置信水平95%，则c=1.96c=1.96
• 置信水平99%，则c=2.58c=2.58　　

一般情况下，置信区间的计算式为：

统计量±(误差范围)统计量±(误差范围)

误差范围等于cc与检验统计量标注查的乘积：

误差范围=c×(统计量的标准差)