【NOIP模拟】购物

题面

双11就要来啦！Yuno 刚刚获得了X 元的奖金。那么是不是应该清空下购物车呢？
购物车总共有 N 个物品，每个物品的价格为 V_i ，Yuno 想尽可能地把奖金给花光，所以她要精心选择一些商品，使得其价格总和最接近但又不会超过奖金的金额。那么 Yuno 最后最少可以剩下多少钱呢？

10% 的数据：N ≤ 10
40% 的数据：N ≤ 20, X,V_i ≤ 10000
100% 的数据：N ≤ 40, X,V_i ≤ 10⁹

分析

40%的数据可以01背包做，而2²⁰=1024²说明也可以暴搜，即枚举子集来做。

其实可以发现40=20+20，这说明什么？分成两半来搜就可以了。于是我们想到了用折半搜索，搜索树的深度减小一半，也就只有2²⁰的级别

关键是需要meet in mid，怎么meet呢？对于第二次搜索的每一个得到的子集，我们在第一个搜索得到的子集中找一个对应的，使这两个加起来小于X并且最大。

而第一个搜索得到的子集排序，二分就可以查到了。于是时间复杂度是2²⁰*log2²⁰  也就是20*2²⁰，还是可以接受

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 11000000
#define ll long long
ll w[N],tmp[N];
ll n,x,pos,cnt,ans,mid;
template<class T>
inline void read(T &x)
{
    x=0;ll f=1;static char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    x*=f;
}

inline void dfs1(ll k,ll now)
{
    if(now>x)return;
    ans=min(ans,x-now);
    if(k>mid)
    {
        tmp[++cnt]=now;
        return ;
    }
    dfs1(k+1,now);dfs1(k+1,now+w[k]);
}

inline void dfs2(ll k,ll now)
{
    if(now>x)return;
    if(k>n)
    {
        pos=upper_bound(tmp+1,tmp+1+cnt,x-now)-tmp;
        if(pos)
            ans=min(ans,x-now-tmp[pos-1]);
        return ;
    }
    dfs2(k+1,now);dfs2(k+1,now+w[k]);
} 

int main()
{
    read(n),read(x);mid=(n+1)/2;ans=x;
    for(ll i=1;i<=n;i++)read(w[i]);
    dfs1(1,0);
    sort(tmp+1,tmp+1+cnt);
    if(mid+1<=n)dfs2(mid+1,0);
    printf("%lld\n",ans);            
    return 0;
}