【UVA12716】GCD和XOR

题意

输入整数n（1<=n<=3*10⁷），有多少对整数（a，b）满足：1<=b<=a<=n，且gcd（a，b）=a XOR b。例如：n=7时，有4对：（3，2），(5,4），(6,4），(7,6）

分析

本题的主要想法就是找到一个沟通gcd（a,b）和a^b的桥梁

1. a^b≥a-b。口头化证明：假如二进制位上相同，那么都是0，加入二进制位上不同，前者一定是1，后者可能是1（1-0），也有可能借位导致数位减少（0-1）
2. a-b≥gcd(a,b)。由九章算术·更相减损术可得gcd(a,b)=gcd(a,a-b)=gcd(b,a-b)。显然a-b≥gcd(a,a-b)，得证

我们现在已知gcd（a,b）=a^b，根据夹逼法，a^b=a-b=gcd(a,b)=gcd(a,a-b)

换言之，a^b等于a-b，还有取等前提a-b是a的因子

因此我们枚举a-b，求得它的所有倍数，再判断a-b=a^b是否成立。时间复杂度O(N+N/2+N/3+……+N/N)=O(N logN)

注意打好括号，不然等着WA几发吧

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 30000003
int t,n;
int ans[N];
int main()
{
    for(int i=1;i<N;i++)
    {
        for(int j=i*2;j<N;j+=i)
            if((j^(j-i))==i)
                ans[j]++;
        ans[i]+=ans[i-1];
    }
    scanf("%d",&t);
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("Case %d: %d\n",i,ans[n]);
    }
}