三门问题

问题描述很简单，背景是一档电视节目，有三扇关着的门，其中一扇门后面是汽车

你先选择一扇门，然后主持人为你打开剩下两扇门中的一扇没有汽车的门，然后给你一次更换的机会，那么这时候你换不换呢？

从直觉上来看，剩下的两扇门好像没有任何的区别，那么他们背后是车的概率应该是相等的，都是\(\frac{1}{2}\)，更换选择似乎没有任何意义。但是通过分析与计算可以得到，此时换门能拿到大奖的概率为\(\frac{2}{3}\)，而不换只有\(\frac{1}{3}\)

既然概率不同，那么这两扇门一定是有区别，我们给这三扇门编号\(A,B,C\)，假设你选了\(A\)，主持人打开了\(B\)，\(A\)与\(C\)唯一的区别，似乎就是你一开始选了\(A\)而不是\(C\)，可一开始没有任何信息，\(A\)和\(C\)是完完全全平等的，如何影响之后的概率呢

不妨先考虑一下这个问题，我们一开始不选择门，主持人先为你打开一扇没有车的门，然后你从剩下两扇门选择一扇打开，此时的概率是怎么样的。

主持人一开始就为我们排除一扇门，这不就是相当于一上来就只有两扇门，然后选一扇吗，此时两扇门的概率当然都是\(\frac{1}{2}\)这个问题与原本的三门问题非常类似，我们仅仅是去掉了一开始选门的操作，但结果却大相径庭，这说明奥秘就在第一次选门之中

在之前的考虑当中，我们似乎忽略了一点，那就是主持人是与选手完全不同的。对于选手而言，在他第一次做出选择的时候，他是没有任何的信息的，但是主持人是知道所有门的信息的。他为选手打开一扇门并不是随机的，并且他只会打开一扇没有汽车的门。

在第二个问题中，主持人先为我们打开一扇门，然后我们再做选择。当主持人开门时，场上有两扇门他可以打开，因此他打开其中任意一扇门的概率都是\(\frac{1}{2}\)。而对一开始的三门问题来说，如果我们选择了一扇有有汽车的门，那么主持人依然可以在剩下的门中随便选一扇门打开，但如果我们选择了一扇空门，那么就只剩下一扇空门，而主持人也失去了选择，区别就体现出来了，也就是说我们第一次的选门事实上限制了主持人的开门

我们用数学化的语言来描述一下

我们假设一开始选了\(A\)，并设事件\(A_1,B_1,C_1\)分别表示汽车在\(A,B,C\)门后，\(A_2,B_2,C_2\)表示主持人打开了\(A,B,C\)门

我们想要求的就是\(P(A_1|B_2)\)和\(P(A_1|C_2)\)，我们先来求\(P(A_1|B_2)\)

由贝叶斯公式可得

\[P(A_1|B_2)=\frac{P(A_1)P(B_2|A_1)}{P(A_1)P(B_2|A_1)+P(\overline{A_1})P(B_2|\overline{A_1})} \]

其中\(P(A_1)=\frac{1}{3}\)，而\(P(B_2|A_1)\)表示\(A_1\)的条件下主持人开\(B\)的概率，此时剩下两个都是空门，则\(P(B_2|A_1)=\frac{1}{2}\)

因为\(\overline{A_1}=B_1+C_1\)，且\(B_1,C_1\)互斥，再由条件概率公式可得

\[P(B_2|\overline{A_1})=\frac{P(B_2\overline{A_1})}{P(\overline{A_1})}=\frac{P(B_2B_1)+P(B_2C_1)}{P(\overline{A_1})}\\ P(B_2B_1)=0\\ P(B_2C_1)=P(B_2|C_1)P(C_1)\\ P(B_2|C_1)=1,P(C_1)=\frac{1}{3}\\ P(B_2|\overline{A_1})=\frac{1}{3}\\ P(A_1|B_2)=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}+\frac{1}{3}}=\frac{1}{3} \]

而再来求\(P(A_1|C_2)\)的时候你会发现其实是一模一样的，也就是说不管开那扇门，此时不换获胜的概率都是\(\frac{1}{3}\)，而换门获胜的概率则是\(\frac{2}{3}\)