[HNOI2017]礼物

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Solution:

把两个手镯都增加亮度，可以看做只增加一个手镯的亮度，设增加的亮度为x

则我们要求的是\(\sum_{i=1}^n(a_i+x-b_i)^2\)的最小值，我们把它拆开：

\[\sum_{i=1}^n{a_i^2+b_i^2+2a_ib_i+x^2+2x(a_i+b_i)}\\ \sum_{i=1}^na_i^2+\sum_{i=1}^nb_i^2-2\sum_{i=1}^na_ib_i+nx^2+2x\sum_{i=1}^n(a_i-b_i) \]

可以看出最后两项构成一个二次函数，可以由对称轴来求出最小值

前两项则不会因为旋转而改变，所以我们现在只需要求出\(\sum_{i=1}^na_ib_i\)的最大值就行了

我们把a倍长，把b翻转，式子就变成了：\(\sum_{i=1}^{2n}a_ib_{2n-i-1}\)，这显然是一个卷积

求出卷积后，找到n+1到2n中最大的一项，就是最大的\(\sum_{i=1}^n a_ib_i\)

不过要注意求出的对称轴不一定是整数，所以要取左右对比用最小值

Code:

#include<bits/stdc++.h>
#define Pi acos(-1.0)
#define ll long long
#define int long long 
using namespace std;
const int N=4e5+10;
const double eps=1e-2;
ll ans=1926081719491001;
int len=1,tim,rtt[N],a1,b1,a2,b2;
struct cp{double x,y;}A[N*2],B[N];
cp operator + (cp a,cp b){return (cp){a.x+b.x,a.y+b.y};}
cp operator - (cp a,cp b){return (cp){a.x-b.x,a.y-b.y};}
cp operator * (cp a,cp b){return (cp){a.x*b.x-a.y*b.y,a.y*b.x+a.x*b.y};}
void FFT(cp *a,int flag){
    for(int i=0;i<len;i++)
        if(i<rtt[i]) swap(a[i],a[rtt[i]]);
    for(int l=2;l<=len;l<<=1){
        cp wn=(cp){cos(flag*2*Pi/l),sin(flag*2*Pi/l)};
        for(int st=0;st<len;st+=l){
            cp w=(cp){1,0};
            for(int u=st;u<st+(l>>1);u++,w=w*wn){
                cp x=a[u],y=w*a[u+(l>>1)];
                a[u]=x+y,a[u+(l>>1)]=x-y;
            }
        }
    }
}
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
    return x*f;
}
signed main(){
    int n=read(),m=read();
    while(len<=(3*n)) len<<=1,++tim;
    for(int i=0;i<len;i++)
    	rtt[i]=(rtt[i>>1]>>1)|((i&1)<<(tim-1));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x=read();
        A[i-1].x=x,A[i+n-1].x=x;
        a1+=x*x,a2+=x;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x=read();
        B[n-i].x=x;
        b1+=x*x,b2+=x;
    }
    FFT(A,1);FFT(B,1);
    for(int i=0;i<=len;i++) A[i]=A[i]*B[i];
    FFT(A,-1);for(int i=0;i<=len;i++) A[i].x=(int){A[i].x/len+0.5};	
    int minn=(b2-a2)/n,u=ans;
    for(int i=-1,mn=minn+i;i<=1;i++,mn=minn+i)
        u=min(u,a1+b1+n*mn*mn+2ll*mn*(a2-b2));
    for(int i=0;i<n;i++){
        ll now=u-2ll*(ll)A[i+n].x;
        ans=min(ans,now);
    }printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}