11.C++：快速幂

问题引入：

求a^b%c的值

（假设ans=a^b)

其中a，b，c为整数，且0<a,c<10^9,0<b<10^18.

算法设计：

对于这个问题，我们首先想到的是暴力算法，for循环循环b次，最后对c取模，但这样做会有两个缺陷

第一：时间复杂度为o（b），如果b很大，那么计算机需要很长时间计算

第二：即便是long long型数据，a^b也很容易超过long long 的最大值

那么应该如何优化呢？

首先有这样有一个性质:

(a*b)%p=[(a%p)*(b%p)]%p

可设a=k1*p+q1,b=k2*p+q2来证明

通过取模运算的这个性质，我们可以每乘一次a，就对其取模，以此可以解决数据爆掉的问题‘

但是时间复杂度依然是o（b）

如何继续优化？

我们考虑手动计算3^10的过程

我们是3^10=9^5=9*81^2

即：当指数（b）为偶数时，我们直接将指数除以2，然后将底数（a）平方

       当指数（b）为奇数时，我们将ans先乘以底数，再将指数b整除2（即舍去小数部分），然后将底数平方

实际上，这样做，我们每次将b整除2，因此如果把b写成2^n的形式，那么只需要n次，即时间复杂度为o（log2（b））

代码如下：

long long fast_power(long long a, long long b, long long c)//快速幂的实现
{
    long long ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b % 2 == 1)//如果b是奇数，需要将ans先乘a，其他操作与b为偶数的情况一样
            ans *= a;
        a *= a;
        b /= 2;
    }
}

那么加上modc呢？

long long fast_power(long long a, long long b, long long c)//快速幂的实现
{
    a %= c;
    long long ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b % 2 == 1)//如果b是奇数，需要将ans先乘a，其他操作与b为偶数的情况一样
            ans = (ans * a) % c;
        a = (a * a) % c;
        b /= 2;
    }
    return ans%c;
}

更进一步，如何输出a^b呢？

依然是利用快速幂的思想，用数组按位运算 ：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#include<math.h>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cctype>
using namespace std;
int index,base_number[1001], answer[1001],temp[1001];
void operate1()
{
    memset(temp, 0, sizeof(temp));
    for (int i = 1; i <= 500; i++)
        for (int j = 1; j <= 500; j++)
            temp[i + j - 1] += answer[i] * base_number[j];
    for (int i = 1; i <= 500; i++)
    {
        temp[i + 1] += temp[i] / 10;
        temp[i] %= 10;
    }
    memcpy(answer, temp, sizeof(temp));
}
void operate2()
{
    memset(temp, 0, sizeof(temp));
    for (int i = 1; i <= 500; i++)
        for (int j = 1; j <= 500; j++)
            temp[i + j - 1] += base_number[i] * base_number[j];
    for (int i = 1; i <= 500; i++)
    {
        temp[i + 1] += temp[i] / 10;
        temp[i] %= 10;
    }
    memcpy(base_number, temp, sizeof(temp));
}
int main()
{
    //输入底数a与指数b
    int base;
    cin >> base >> index;
    for (int i = 1; base; i++)
    {
        base_number[i] = base % 10;
        base /= 10;
    }
    answer[1] = 1;
    while (index)
    {
        if (index % 2 == 1)
            operate1();
        index /= 2;
        operate2();
    }
    int flag = 0;
    for (int i = 1000; i >= 1; i--)
    {
        if (answer[i])flag = 1;
        if (flag)cout << answer[i];
    }
}