自抗扰控制技术简述
2017年1月23日
#跟踪微分器(Tracking Differentiator)
时延不同的两个惯性环节的信号相减，再除以时延之差，可以获得不错的微分效果。而惯性环节本质上是对信号的滤波与跟踪。当两个惯性环节相差很小的时候，这样的微分器可以近似表示为：
$$W(s) = \frac{ r^{2} s } { s^{2} + 2rs + r^{2} }$$
上式中的跟踪环节实际上是二阶线性系统，相当于二阶滤波器。一般的，跟踪微分器有如下形式：
$$W(s) = \frac{ r^{m} s } { (s + r)^{ m } }$$
为什么采取这种结构呢？因为需要快速地追踪输入信号，所以实际上这种结构是零阻尼结构，能够在快速性与超调之间取得平衡。
非线性跟踪微分器又是什么呢？考虑二阶积分器串联型系统：
$$
\left\{
\begin{aligned}
\dot{ x_{1} } &= x_{2} \\
\dot{ x_{2} } &= u, |u| \leq r
\end{aligned}
\right.
$$
以原点为终点的快速最优控制综合函数（此处存疑）为:
$$
u(x_{1}, x_{2}) = -r \text{ sign } ( x_{1} + \frac{ x_{2} | x_{2} | } {2 r } )
$$
将上式中的$x_{1}$改为$x_{1} - v_{0}(t)$，其中$v_{0}(t)$表示为需要追踪的信号，则有:
$$
\left\{
\begin{aligned}
\dot{ x_{1} } &= x_{2} \\
\dot{ x_{2} } &= -r \text{ sign } ( x_{1} - v_{0}(t) + \frac{ x_{2} | x_{2} | } {2 r } )
\end{aligned}
\right.
$$
这个系统的加速度绝对值限制在r之下，将最快地跟踪输入信号$v_{0}(t)$。r越大，跟踪速度越快。取解分量之一$x_{2}$作为输入信号的近似微分，就可以构成一种非线性跟踪微分器。非线性跟踪微分器的参数效率要比线性的高，相似的滤波效果，非线性跟踪微分器的参数值较小。
菲利波夫意义：存疑
关于跟踪微分器的定理：
设有二阶微分方程
$$
\left\{
\begin{aligned}
\dot{ z_{1} } &= z_{2} \\
\dot{ z_{2} } &= f(z_{1}, z_{2})
\end{aligned}
\right.
$$
那么，对于任意有界可测信号$v(t),t \in [0, +\infty]$， 以及任意的$T$，如下微分方程：
$$
\left\{
\begin{aligned}
\dot{ x_{1} } &= x_{2} \\
\dot{ x_{2} } &= r^{2}f(x_{1} - v(t), \frac { x_{2} } {r} )
\end{aligned}
\right.
$$
的解的第一分量$x_{1}(r,t)$将满足$\mathop{\lim}_{ r \to +\infty } { \int_{0}^{T}| x_{1}(r,t) - v(t) | \text{d} t} = 0 $。即当$r \to +\infty$时，该方程的解分量$x_{1}$将会收敛于给定$v(t)$。
##快速跟踪微分器的离散形式
最速跟踪微分器直接离散得到形式为：
$$
\left\{
\begin{aligned}
f &= - r \text{sign} ( x_{1}(k) - v(k) + \frac{ x_{2}(k) |x_{2}(k)| }{ 2r } ) \\
x_{1}(k+1) &= x_{1}(k) + h x_{2}(k) \\
x_{2}(k+1) &= x_{2}(k) + hf
\end{aligned}
\right.
$$
最速跟踪微分器直接离散进行数值计算，在系统进入稳态之后，会产生高频震颤。即使将符号函数换成线性饱和函数，也只能减小而不能避免高频震颤，速度输出依然很难保持为零。因为连续系统的最速控制综合函数离散化后，并不是离散化后的系统的最优控制函数。
假设有如下离散系统：
$$
\left\{
\begin{aligned}
x_{1}(k+1) &= x_{1}(k) + h x_{2}(k) \\
x_{2}(k+1) &= x_{2}(k) + h u , |u| \leq r
\end{aligned}
\right.
$$
该离散系统的最速控制综合函数记作$u = fhan(x_{1}, x_{2}, r, h)$，其公式如下：
$$
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
d &= rh \\
d_{0} &= hd \\
y &= x_{1} + h x_{2} \\
a_{0} &= \sqrt{ d^{2} + 8 r | y | } \\
a &=
\left\{
\begin{aligned}
&x_{2} + \frac{ (a_{0} - d ) } { 2 } \text{sign}(y), &|y| > d_{0} \\
&x_{2} + \frac{y}{h}, &|y| \leq d_{0}
\end{aligned}
\right.\\
fhan &= -
\left\{
\begin{aligned}
&r \text{sign}(a), &|a| > d \\
&r \frac{a}{d}, &|a| \leq d
\end{aligned}
\right.
\end{aligned}
\right.
\label{fhan_equation}
\end{equation}
$$
#存疑
P128，线性反馈闭环系统抑制未知扰动的能力的论述。
2.7 离散系统快速最优控制综合函数的推导过程为什么需要用到G(2)的等时曲线，因为二阶系统最少需要用到2步才能达到最优状态吗？
