《算法图解》——第八章 贪婪算法
第八章 贪婪算法
1 简单的贪婪算法
每步都采取最优的做法，每步都选择局部最优解。
2 背包问题
有些情况下，完美是优秀的敌人。如果你只需要找到一个大致解决问题的算法，贪婪算法挺不错，因为实现容易，结果与正确结果相当接近。
练习
8.1 你在一家家具公司工作，需要将家具发往全国各地，为此你需要将箱子装上卡车。每个箱子的尺寸各不相同，你需要尽可能利用每辆卡车的空间，为此你将如何选择要装上卡车的箱子呢？请设计一种贪婪算法。使用这种算法能得到最优解吗？
选择可以装入卡车中最大的箱子，不断重复，直到不能再装，这种算法得不到最优解。
8.2 你要去欧洲旅行，总行程为7天。对于每个旅游胜地，你都给它分配一个价值——表示你有多想去那里看看，并估算出需要多长时间。你如何将这次旅行的价值最大化？请设计一种贪婪算法。使用这种算法能得到最优解吗？
不断地挑选可以在剩下的时间内完成的价值最大的活动，知道剩下的时间不能够完成任何活动为止。同样这种算法得不到最优解。
3 集合覆盖问题
假设你办了个广播节目，要让全美50个州的听众都收听得到。为此，你需要决定在哪些广播台播出。在每个广播台播出都需要支付费用，因此你力图在尽可能少的广播台播出。每个广播台都覆盖特定的区域，不同广播台的覆盖区域可能重叠。
具体方法如下：
①列出每个可能的广播台集合，这被称为幂集（power set）。可能的子集有2**n个。
②在这些集合中，选出覆盖全美50个州的最小集合。
由于可能的子集有2**n个，因此运行时间为O(2**n)。
用贪婪算法可得到非常接近的解：
①选出这样一个广播台，它覆盖了最多的未覆盖的州。即使有重复的州也没有关系
②重复第一步，直到覆盖了所有的州
这是一种近似算法。判断近似算法优劣的标准如下：
①速度有多快
②得到的近似解与最优解的接近程度。在这个例子中贪婪算法的运行时间为O（n**2）
上述问题代码实现过程（简化问题）：
①准备工作，首先，创建一个列表，其中包含要覆盖的州：states_needed = set(["mt", "wa", "or", "id", "nv", "ut","ca", "az"])（使用集合的不重复特点）；还需要有可供选择的广播清单，用散列表来表示它：
stations = {}
stations["kone"] = set(["id", "nv", "ut"])
stations["ktwo"] = set(["wa", "id", "mt"])
stations["kthree"] = set(["or", "nv", "ca"])
stations["kfour"] = set(["nv", "ut"])
stations["kfive"] = set(["ca", "az"])
其中，键为电台名字，值为覆盖的州。最后用一个集合来保存最终选择的电台：final_stations = set()
②计算答案
需要从中选择覆盖了最多的未覆盖州的广播台。将整个广播台存储在best_station 中。
states_needed = (["mt", "wa", "or", "id", "nv", "ut","ca", "az"]) #这个代码有问题没解决
stations = {}
stations["kone"] = (["id", "nv", "ut"])
stations["ktwo"] = (["wa", "id", "mt"])
stations["kthree"] = (["or", "nv", "ca"])
stations["kfour"] = (["nv", "ut"])
stations["kfive"] = (["ca", "az"])
final_stations = ()
while states_needed:
best_station = ()
states_covered = ()
for station, states_for_station in stations.items():
covered = states_needed and states_for_station
if len(covered) > len(states_covered):
best_station = station
states_covered = covered
states_needed -= states_covered
final_stations.add(best_station)
print(final_stations) #这是结果set(['ktwo', 'kthree', 'kone', 'kfive'])
states_covered 是一个集合，包含该广播台覆盖的所有未覆盖的州。 for 循环迭代每个广播台，并确定它是否是最佳的广播台。下面来看看这个 for 循环的循环体。
covered 是一个集合，包含同时出现在 states_needed 和states_for_station 中的州；
贪婪算法和精确算法的运行时间对比：
练习
下面各种算法是否是贪婪算法。
8.3 快速排序。否
8.4 广度优先搜索。是
8.5 狄克斯特拉算法。是
4 NP完全问题
旅行商问题详解：
2个城市时，2条；3个城市时，6条；4个城市时，24条；同理：N个城市就是N！条，这被称为阶乘函数。
如何识别NP完全问题：
①元素较少时算法的运行速度非常快，但随着元素数量的增加，速度会变得非常慢。
②涉及“所有组合”的问题通常是NP完全问题。
③不能将问题分成小问题，必须考虑各种可能的情况。这可能是NP完全问题。
④如果问题涉及序列（如旅行商问题中的城市序列）且难以解决，它可能就是NP完全问题。
⑤如果问题涉及集合（如广播台集合）且难以解决，它可能就是NP完全问题。
⑥如果问题可转换为集合覆盖问题或旅行商问题，那它肯定是NP完全问题。
练习
8.6 有个邮递员负责给20个家庭送信，需要找出经过这20个家庭的最短路径。请问这是一个NP完全问题吗？类似旅行商问题，是一个NP完全问题
8.7 在一堆人中找出最大的朋友圈（即其中任何两个人都相识）是NP完全问题吗？类似集合覆盖问题，同样是一个NP完全问题
8.8 你要制作美国地图，需要用不同的颜色标出相邻的州。为此，你需要确定最少需要使用多少种颜色，才能确保任何两个相邻州的颜色都不同。请问这是NP完全问题吗？也是
5 小结
贪婪算法寻找局部最优解，企图以这种方式获得全局最优解。
对于NP完全问题，还没有找到快速解决方案。
面临NP完全问题时，最佳的做法是使用近似算法。
贪婪算法易于实现、运行速度快，是不错的近似算法。
