2023-06-16 《计算方法》- 陈丽娟 - 绪论.md

合集 - 《计算方法》-陈丽娟(8)

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2023-06-16 《计算方法》- 陈丽娟 - 绪论

Matlab计算方法误差有效数字

本章主要介绍计算方法的研究对象与特点，介绍误差的基本概念，并且提出在数值计算中应当普遍遵循的若干原则。最后附上习题答案。

一、误差与有效数字

误差可以分为：

• 模型误差
• 观测误差
• 截断误差
  即用有限计算过程逼近无限计算过程产生的误差
• 舍入误差
  用有限的数字近似表示无限数

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定义1

设数的近似值为，记为近似值的绝对误差。

注意该定义的误差是可以为负数的。

定义2

近似值的相对误差：

由于通常未知，因此相对误差常用代替。

定义3

相对误差限：相对误差的绝对值的上界，即

定义4

设数的近似值为, 则

其中，是在0到9之间的数字 (特别的，). 若, 则称有位有效数字。

定义4在说一个什么事情呢？我们从一个实际例子来看有效数字到底是什么：
设, 我们求. 显然这个问题的值是. 我们用来代替做计算(舍入误差)，得到。那么有几位有效数字呢，我们按照定义来看

即可知道有六位有效数字，这与我们的预期相符。

定理1

设的近似值为, 则

1. 若有位有效数字，则其相对误差为;
2. 若的相对误差，则至少有位有效数字。

定理1的证明很简单，只需要将定义带入即可。

一个有争议的例子

要使的近似值的相对误差小于0.1%，要取几位有效数字？
书上由定理1的第一条得到4位有效数字。这里我们考虑使用定理1的第二条，我们可以得到，带入, 得到至少需要3位有效数字。作为检验，我们计算, 或，均验证了只需要取3位有效数字就可以满足要求。（此分析正确性待定，希望大家能指出问题所在）

二、数值运算的误差估计

一个更详细的分析见 https://blog.csdn.net/HiWangWenBing/article/details/119790035

三、数值计算中的一些原则

1. 避免两个相近数相减
2. 避免绝对值太小的数做分母
3. 避免大数吃小数
4. 数值算法要稳定
   计算过程中舍入误差可以控制的计算公式称为稳定的数值算法
5. 先化简再计算

四、习题

题目请看教材

1. 取3.14，3.15，22/7，355/113作为的近似值，求各自的绝对误差、相对误差和有效数字的位数。
   得绝对误差分别是
   得相对误差分别是
   有效数字的位数转换为，由可得到的取值。

2. 解
   , 则精确值, 可知绝对误差限应为0.00005, 相对误差限为, 有效数字可由及, 可得到, 即有三位有效数字。

3. 首先求, 然后得到的近似值，再直接由定理1可得到有效数字位数

4. 计算, 取, 下列哪一个的计算结果最好：
   , , ,
   按照计算原则，第三个的结果最好，第四个不知道有什么关系。

5. 只需要注意显然有效数字有保证，即可得

6. 难点在于给出迭代格式，即之间的关系。利用分部积分可得, 即可得到反推式子, 此外由有界，可知, 或可设, 然后依次计算.

7. ,显然这个计算过程不稳定，误差指数增长。

8. 只需要注意到的导数单调递减，可知由计算引起的误差随的增大而不敏感。

1. log(30-sqrt(30^2-1)) 
   

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2. -4.094066668632085 
   

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3. -log(30+sqrt(30^2-1)) 
   

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4. -4.094066668632055 
   

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