复杂度计算 master 公式详解

2023-08-22 11:42:47 顶置3

前言

推了半个小时的式子，我感觉我已经彻底的理解了，所以前来写一篇复杂度 $master$ 公式计算的结论和证明。

$master$ 公式

可以解决的问题——给出递归的复杂度公式：

$$\{\begin{array}{l}T(1)=1\\ T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n)\\ f(n)=n^d\end{array}$$

求递归 $T(n)$ 的复杂度。

结论：

$$T(n)=\{\begin{array}{ll}O(n^d{\log }_{b}n)& {\log }_{b}a=d\\ O(n^d)& {\log }_{b}a<d\\ O(n^{{\log }_{b}a})& {\log }_{b}a>d\end{array}$$

证明：

$$\begin{array}{rl}T(n)& =aT(\frac{n}{b})+f(n)\\ & =a(aT(\frac{n}{b^2})+(\frac{n}{b}{)}^d)+n^d\\ & =a^{2}T(\frac{n}{b^2})+n^d(1+\frac{a}{b^d})\end{array}$$

用相同的方法将 $T(n)$ 展开 $m$ 次，可得：

$$\begin{array}{rl}T(n)& =a^{m}T(\frac{n}{b^m})+n^d(1+\frac{a}{b^d}+(\frac{a}{b^d}{)}^2+\cdots +(\frac{a}{b^d}{)}^{m-1})\end{array}$$

展开到最后，显然 $\frac{n}{b^m}$ 可以取到 $1$，那么 $m={\log }_{b}n$。

那么：

$$T(n)=a^{{\log }_{b}n}T(1)+n^d(1+\frac{a}{b^d}+(\frac{a}{b^d}{)}^2+\cdots +(\frac{a}{b^d}{)}^{-1+{\log }_{b}n})$$

当 $\frac{a}{b^d}=1$ 时，此时 $a=b^d$,$d=lo{g}_{b}a$,代入可得:

$$\begin{array}{rl}T(n)& =a^{{\log }_{b}n}+n^{{\log }_{b}a}lo{g}_{b}n\\ & =n^{{\log }_{b}a}+n^{{\log }_{b}a}lo{g}_{b}n\\ & =n^d(1+{\log }_{b}n)\end{array}$$

去掉常数项可得当 $\frac{a}{b^d}=1$ 时，$T(n)=n^d{\log }_{b}n$。

当 $\frac{a}{b^d}\ne 1$ 时，我们令 $S=1+\frac{a}{b^d}+(\frac{a}{b^d}{)}^2+\cdots +(\frac{a}{b^d}{)}^{-1+{\log }_{b}n}$。

$$S=1+\frac{a}{b^d}+(\frac{a}{b^d}{)}^2+\cdots +(\frac{a}{b^d}{)}^{-1+{\log }_{b}n}$$

$$\frac{a}{b^d}S=\frac{a}{b^d}+(\frac{a}{b^d}{)}^2+\cdots +(\frac{a}{b^d}{)}^{{\log }_{b}n}$$

$$(\frac{a}{b^d}-1)S=(\frac{a}{b^d}{)}^{{\log }_{b}n}-1$$

$$S=\frac{(\frac{a}{b^d}{)}^{{\log }_{b}n}-1}{\frac{a}{b^d}-1}$$

$$\begin{array}{rl}T(n)& =a^{{\log }_{b}n}+n^d\frac{(\frac{a}{b^d}{)}^{{\log }_{b}n}-1}{\frac{a}{b^d}-1}\\ & =n^{{\log }_{b}a}+\frac{n^{{\log }_{b}a}-n^d}{\frac{a}{b^d}-1}\\ & =\frac{\frac{a}{b^d}{n}^{{\log }_{b}a}-n^d}{\frac{a}{b^d}-1}\end{array}$$

当 $\frac{a}{b^d}<1⟺{\log }_{b}a<d$ 时，显然 $n^d>\frac{a}{b^d}{n}^{{\log }_{b}a}$，所以近似看作 $T(n)=n^d=f(n)$，否则 $T(n)=n^{{\log }_{b}a}$。

综上

$$T(n)=\{\begin{array}{ll}O(n^d{\log }_{b}n)& {\log }_{b}a=d\\ O(n^d)& {\log }_{b}a<d\\ O(n^{{\log }_{b}a})& {\log }_{b}a>d\end{array}$$