CF232B Table

2023-08-07 16:29:49

题意

有一个 $n\times m$的矩阵，求使得每个 $n\times n$的矩阵中都有正好 $k$个点的方案数，方案数对 $1e9+7$ 取模。 $1\le n\le 100,n\le m\le {10}^{18},0\le k\le n^2$。

思路

通过观察样例并且自己手玩了一些数据后，我们发现，假设第 $i$ 列放了 $k$ 个数，那么如果 $i+rn$ 列想做到前 $n$ 列的点数和与 $i$ 列前 $n$ 列点数和相同，那么也得放 $k$ 个。

所以我们只需要处理前 $n$ 的情况就能推广到 $m$ 列的情况了。只需要把这些相同的方案相乘即可,具体就是算取的时候带个指数吧。

转移很好想，令 $f_{i,k}$ 表示前 $i$ 列有 $k$ 个点的方案数，$x$ 表示 $i$ 列放了 $x$ 个点。那么有转移：

$$f_{i,k}=\sum _{x=0}^{min(k,n)}{f}_{i-1,k-x}\times {(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x})}^{m/n+(m\mathrm{mod}n\le i)}$$

$O(n^2\log )$预处理 ${(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x})}^{m/n+(m\mathrm{mod}n\le i)}$，然后 $O(n^{2}K)$ 转移，空间复杂度 $O(nK)$，也可以滚到 $O(K)$。

$Code$

ll n,m,K,fac[105],ifac[105],f[105][10005],cnt[105][105];
ll qpow(ll x,ll w){
    ll res=1;
    for(;w;w>>=1,x=x*x%mod)if(w&1)res=res*x%mod;
    return res;
}
ll C(ll x,ll y){
    return (fac[x]%mod*ifac[y]%mod)%mod*ifac[x-y]%mod;
}
int main(){
    cin>>n>>m>>K;
    fac[0]=1;
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
        cnt[n+1][i]=(m/n+(m%n>=i))%(mod-1);
    }
    ifac[n]=qpow(fac[n],mod-2);
    for(ll i=n-1;~i;--i){
        ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;
    }
    for(ll i=0;i<=n;i++)
        for(ll j=1;j<=n;j++)
            cnt[i][j]=qpow(C(n,i),cnt[n+1][j]);
    f[0][0]=1;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        for(ll k=0;k<=K;k++)
            for(ll x=0;x<=min(n,k);x++){
                f[i][k]=(f[i][k]+f[i-1][k-x]*cnt[x][i]%mod)%mod;
            }
    cout<<f[n][K];
}