CF1806E Tree Master

2023-07-19 10:59:11

思路来源于题解:https://www.luogu.com.cn/problem/solution/CF1806E

算法：根号分治+记忆化搜索。

因为每一个查询都是同层的，我们可以只记忆层数少的（小于$\sqrt{n}$）,对于层数多的层，如果大于$ \sqrt n$，\mathrm{那}\mathrm{么}\mathrm{这}\mathrm{种}\mathrm{层}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{数}\mathrm{量}\mathrm{肯}\mathrm{定}\mathrm{小}\mathrm{于}$ \sqrt n$ ,一共有 $q$ 次查询，假设每次都查层数多的，那因为层数少的记忆化了可以直接下传看作 $O(1)$。

然后上查过程中经过的层数多的只有$\sqrt{n}$ 层
复杂度 $O(q\sqrt{n})$ ，而层数少的查询全搜完也只有 $O(n \sqrt n) $\mathrm{记}\mathrm{忆}\mathrm{化}\mathrm{数}\mathrm{组}\mathrm{第}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{存}\mathrm{编}\mathrm{号}，\mathrm{第}\mathrm{二}\mathrm{个}\mathrm{存}\mathrm{总}\mathrm{层}\mathrm{编}\mathrm{号}。\mathrm{总}\mathrm{复}\mathrm{杂}\mathrm{度}$ O(q\ sqrt n + n \sqrt n ) $，可过。

$Code$

int n,q,fa[100005],deep[100005],siz[100005],idc[100005];//idc=层id siz=层大小,s=题给f(i,i),f=记忆化数组
ll a[100005],f[100005][318],s[100005];
ll dfs(int x,int y){
    if(x==y)return s[x];
    if(siz[deep[x]]<=318){
        if(f[x][idc[y]])return f[x][idc[y]];
        return f[x][idc[y]]=f[y][idc[x]]=dfs(fa[x],fa[y])+a[x]*a[y];
    }
    return dfs(fa[x],fa[y])+a[x]*a[y];//优雅的暴力
}
int main(){
    n=read(),q=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i]=read();
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(i^1)fa[i]=read();// 因为题给 fa[i]<i,所以可以直接循环不用考虑之前没有更新过
        s[i]=s[fa[i]]+a[i]*a[i];
        deep[i]=deep[fa[i]]+1;
        idc[i]=++siz[deep[i]];//一边更新深度一边更新标号
    }
    while(q--){
        int x=read(),y=read();
        printf("%lld\n",dfs(x,y));
    }
}