CF1768E wonderful jump

2023-03-01 16:50:41

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read(){
    ll x=0;char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar());
    for(;isdigit(c);c=getchar())x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);
    return x;
}
ll n;
ll f[400005],a[400005];
vector<ll>S;
int main(){
    n=read();
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        a[i]=read();
    }
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    f[1]=0;
    ll sqrtn=sqrtl(n);
    //先放个1，1号一定是单调的()
    S.push_back(1);
    printf("%lld",f[1]);
    for(ll i=2;i<=n;i++){
        ll minn=a[i];
        // minn>sqrtn
        //原因是此时满足j-i<=sqrtn才能最优
        //证明就是i->j最大值为(j-i)*n
        //那么min(...)*(i-j)^2<=(j-i)*n
        //min(...)*(j-i)<=n
        //若min(...)>=sqrtn可以得到(j-i)<=sqrtn
        //此时可以过滤掉一个根号，加快速度
        //但不需要特判，属于必要性先行
        //思路：为了省一个根号复杂度
        for(ll k=i-1;k>=max(1ll,i-sqrtn);--k){
            f[i]=min(f[i],f[k]+(minn=min(minn,a[k]))*(i-k)*(i-k));
        }
        //minn<=sqrtn
        //此时上面的方法不好用了，如果强行n^2会炸
        //又有性质i->j最小时，满足min(...)==a[i] or a[j]
        //用反证法结合(a+b)^2>=a^2+b^2可以证明(具体见https://www.luogu.com.cn/blog/explodingkonjac/solution-cf1768f)
 
        //case1 min(...)==a[j](j->i)
        //找i前面满足(j,i)内a[j]最小的值<=sqrt的(不然就是第一种情况了),满足单调性质(相同的话后面比前面优)
        //此时可以使得栈内个数小于sqrt(n)
        //用单调栈维护（实际是vector，好便利，而且与栈有相似功能）
        //思路：最小值边缘时的特殊性质
        for(ll j:S){
            f[i]=min(f[i],f[j]+(i-j)*(i-j)*a[j]);
        }
        //case2 min(..)==a[i](i->j)
        //直接暴力即可，大于时退出（维护单调）
        if(a[i]<=sqrtn){
            for(ll j=i-1;j;--j){
                if(a[i]>=a[j])break;
                f[i]=min(f[i],f[j]+(i-j)*(i-j)*a[i]);
            }
            while(!S.empty()&&a[i]<=a[S.back()])S.pop_back();
            S.push_back(i);
        }
        printf(" %lld",f[i]);
    }
}