二分图相关知识+染色法+匈牙利

一、相关概念：

1、二分图

把图中的点分到两个集合中，集合内的点之间没有边相连，边存在于两个集合之间

2、匹配、最大匹配、完美匹配

匹配：设G为二分图，若在G的子图M中，任意两条边都没有公共节点，那么称M为二分图G的一组匹配。
最大匹配：一个图的所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配
完美匹配：存在某种匹配情况，使得所有的点都是匹配点，那么这个匹配就是完美匹配

3、二分图性质

• 二分图不存在长度为奇数的环
  • 每一条边都是从一个集合走向另一个集合，只有走偶数次才能回到同一个集合。

4、交替路和增广路

• 交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边的一条路
• 增广路：从一个匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（不算出发点），则称这条路径未增广路
• 增广路特点：非匹配边比匹配边多一条
• 增广路性质：找不到增广路时，达到最大匹配

二、染色法判断二分图

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ins 0x3f3f3f3f
#define int long long int
using namespace std;
//图中不含奇数环
//直接相连的，染成不一样的颜色
const int N = 2e5 + 10;
int n, m, u, v;
int e[N], ne[N], h[N], idx;
int color[N];
bool flag = true;

void add(int a, int b){
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

bool dfs(int u, int c){//哪个点，初始染成什么颜色
    color[u] = c;
    for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]){
        int j = e[i];
        if(!color[j]){
            if(!dfs(j,3 - c)) return false;
        }
        else if(color[j] == c) return false;
    }
    return true;
}

signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    memset(h, -1, sizeof h);
    while(m -- ){
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a,b); add(b,a);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        if(!color[i]){
            if(dfs(i,1) == false){
                flag = false;break;
            }
        }
    }
    if(flag) cout <<"Yes";
    else cout <<"No";
    return 0;
}

三、匈牙利算法

//求任意一点不含两条边的最大边数
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

const int M = 1e5 + 10;
int n1, n2, m, h[M], ne[M], e[M],idx;
int match[M], cnt;
bool vis[M];

void add(int a, int b){
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a]; h[a] = idx ++;
}

bool dfs(int u){
    for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]){
        int j = e[i];
        if(!vis[j]){
            vis[j] = true;
            if(match[j] == 0 || dfs(match[j])){ //j没有被匹配过，或者匹配j的节点还有其他备用节点
                match[j] = u;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin >> n1 >> n2 >> m;
    memset(h, -1, sizeof h);
    while(m --){
        int a, b;
        cin >>a >> b;
        add(a,b);
    }
    for(int i = 1; i <= n1; i++){
        memset(vis, 0, sizeof vis);//有点东西
        if(dfs(i)) cnt ++;
    }
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}