CQOI2007余数之和(BZOJ1257)解题报告

CQOI2007余数之和(BZOJ1257)解题报告

【问题描述】

    给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值，其中k mod i表示k除以i的余数。 例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7

   50%的数据满足：1<=n, k<=1000
   100%的数据满足：1<=n ,k<=10^9

【分析】

    显然朴素枚举肯定TLE。对此式子加以观察。

    若k<i 那么 k mod i=k;所以j(n,k)中大于k的一段可以先求出来。

    当n<=k 时，我们可以以sqrt(k)为分界点分为两段处理，前半段可以循环一遍直接处理。而后半段也可以在O(sqrt(N))的时间内求解。

    为什么呢？现在加以说明。我们知道，k mod i=k-(k div i)*i（这里div表示整除）（sqrt(k)<i<=n<=k）而可能会有多个连续的i使得k div i的值是相等的，设为区间[l,r]，那么在这区间中所有k mod i的和可以利用等差数列求出，而对于i>sqrt(k), k div i必然不大于sqrt(k)，所以我们可以枚举k div i的值，求出对应的区间，在O(sqrt(k))的时间内出解。

    顺便介绍一下怎么求区间。设a=k div i,求i的取值区间。那么对于每个i，必然有i*a<=k,i*(a+1)>k,解得区间[l,r]，l=trunc(k/(a+1))+1,r=trunc(k/a).(trunc为截尾，在正数范围内相当于下取整)。

    讲得不是很好，详见代码。

【代码】

    

var i,j:longint;
    n,k,l,r,sq,ans:int64;
begin
  readln(n,k);
  ans:=0;
  if n>k then begin ans:=(n-k)*k;n:=k;end;
  sq:=trunc(sqrt(k)+0.999999999);
  for i:=1 to sq do
   inc(ans,k mod i);
  for i:=1 to sq do
  begin
   l:=trunc(k/(i+1))+1;r:=trunc(k/i);
   if l<=sq then l:=sq+1;
   if r>n then r:=n; 
   if l>r then continue;
   inc(ans,{(r-l+1)*k-i*(r-l+1)*(l+r)div 2}(r-l+1)*(2*k-i*l-i*r)div 2);
  end;
  writeln(ans);
end.

 

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