指数型生成函数 及 多项式求ln
指数型生成函数
我们知道普通型生成函数解决的是组合问题，而指数型生成函数解决的是排列问题
对于数列\(\{a_n\}\)，我们定义其指数型生成函数为
\[G(x) = a_0 + a_1x + a_2\frac{x^2}{2!} + a_3\frac{x^3}{3!} + a_4\frac{x^4}{4!} + \dots = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} a_i\frac{x^i}{i!}
\]
那么对于两个数列\(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)，其对应成生成函数为
\[G(x) = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} a_i\frac{x^i}{i!}
\]
\[F(x) = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} b_i\frac{x^i}{i!}
\]
那么
\[\begin{aligned}
F(x) \centerdot G(x) &= (\sum\limits_{i = 0}^{\infty} a_i \frac{x^i}{i!})(\sum\limits_{i = 0}^{\infty} b_i \frac{x^i}{i!}) \\
&= \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (\sum\limits_{i = 0}^{\infty} \frac{a_ix^i}{i!} \centerdot \frac{b_{n - i}x^{n - i}}{(n - i)!})x^n \\
&= \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (\sum\limits_{i = 0}^{\infty} {n \choose i} a_i b_{n - i}) \frac{x^n}{n!}
\end{aligned}
\]
由此可见两个指数型生成函数相乘，如果\(x^i\)的系数表示的是选择\(i\)个该物品的方案数，那么\(F(x) \centerdot G(x)\)的\(x^i\)的系数表示的就是从\(a\)和\(b\)中选出\(i\)个物品的排列数
一般地，对于多重集合\(M\)，从中选取\(k\)个元素的排列数，若限定元素\(a_i\)出现的次数集合为\(M_i\)，则该组合数序列的生成函数为
\[\prod\limits_{i = 1}^{n}(\sum\limits_{m \in M_i} \frac{x^m}{m!})
\]
泰勒展开式
通常，在指数型生成函数的使用过程中，一般都会用到泰勒展开式：
\[e^{x} = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} \frac{x^i}{i!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \dots
\]
扩展的一些式子：
\[\frac{e^x + e^{-x}}{2} = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} \frac{x^{2i}}{(2i)!}
\]
\[\frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} \frac{x^{2i + 1}}{(2i + 1)!}
\]
还有一些比较有用的公式：
\[\frac{1}{1 - x} = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} x^i
\]
\[ln(1 + x) = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} (-1)^{i} \frac{x^{i + 1}}{i + 1}
\]
\[(1 + x)^{a} = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} a^{\underline{i}}\frac{x^i}{i!}
\]
\[sin(x) = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} (-1)^{i}\frac{x^{2i + 1}}{(2i + 1)!}
\]
\[cos(x) = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} (-1)^{i}\frac{x^{2i}}{(2i)!}
\]
多项式求\(ln\)
意义？
我们要求将一个集合大小为\(n\)的方案数，逆向思考
假如我们求出了生成函数\(F(x)\)，其中\(x^i\)项的系数表示集合大小为\(i\)的方案数
我们构造一个函数
\[G(x) = \frac{F(x)}{1!} + \frac{F^2(x)}{2!} + \frac{F^3(x)}{3!} + \dots
\]
观察式子发现\(G(x)\)中\(x^i\)的系数实际上就是选出若干集合大小刚好为\(i\)的方案数
假设这个方案数很好求，我们能很快构造出\(G(x)\)，我们现在要求\(F(x)\)的话就要使用多项式求\(ln\)了
观察
\[G(x) = \frac{F(x)}{1!} + \frac{F^2(x)}{2!} + \frac{F^3(x)}{3!} + \dots = e^{F(x)}
\]
则
\[F(x) = lnG(x)
\]
求法
假如我们要求\(G(x) = lnF(x)\)
求导得
\[G'(x) = \frac{F'(x)}{F(x)}
\]
则
\[G(x) = \int \frac{F'(x)}{F(x)} dx
\]
所以我们只需多项式求导，多项式求逆，多项式乘法，多项式积分
复杂度\(O(nlogn)\)
