指数型生成函数 及 多项式求ln

指数型生成函数

我们知道普通型生成函数解决的是组合问题，而指数型生成函数解决的是排列问题

对于数列$\{a_n\}$，我们定义其指数型生成函数为

$$G(x) = a_0 + a_1x + a_2\frac{x^2}{2!} + a_3\frac{x^3}{3!} + a_4\frac{x^4}{4!} + \dots = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} a_i\frac{x^i}{i!}$$

那么对于两个数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$，其对应成生成函数为

$$G(x) = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} a_i\frac{x^i}{i!}$$

$$F(x) = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} b_i\frac{x^i}{i!}$$

那么

$$\begin{aligned} F(x) \centerdot G(x) &= (\sum\limits_{i = 0}^{\infty} a_i \frac{x^i}{i!})(\sum\limits_{i = 0}^{\infty} b_i \frac{x^i}{i!}) \\ &= \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (\sum\limits_{i = 0}^{\infty} \frac{a_ix^i}{i!} \centerdot \frac{b_{n - i}x^{n - i}}{(n - i)!})x^n \\ &= \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (\sum\limits_{i = 0}^{\infty} {n \choose i} a_i b_{n - i}) \frac{x^n}{n!} \end{aligned}$$

由此可见两个指数型生成函数相乘，如果$x^i$的系数表示的是选择$i$个该物品的方案数，那么$F(x) \centerdot G(x)$的$x^i$的系数表示的就是从$a$和$b$中选出$i$个物品的排列数

一般地，对于多重集合$M$，从中选取$k$个元素的排列数，若限定元素$a_i$出现的次数集合为$M_i$，则该组合数序列的生成函数为

$$\prod\limits_{i = 1}^{n}(\sum\limits_{m \in M_i} \frac{x^m}{m!})$$

泰勒展开式

通常，在指数型生成函数的使用过程中，一般都会用到泰勒展开式：

$$e^{x} = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} \frac{x^i}{i!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \dots$$

扩展的一些式子：

$$\frac{e^x + e^{-x}}{2} = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} \frac{x^{2i}}{(2i)!}$$

$$\frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} \frac{x^{2i + 1}}{(2i + 1)!}$$

还有一些比较有用的公式：

$$\frac{1}{1 - x} = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} x^i$$

$$ln(1 + x) = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} (-1)^{i} \frac{x^{i + 1}}{i + 1}$$

$$(1 + x)^{a} = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} a^{\underline{i}}\frac{x^i}{i!}$$

$$sin(x) = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} (-1)^{i}\frac{x^{2i + 1}}{(2i + 1)!}$$

$$cos(x) = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} (-1)^{i}\frac{x^{2i}}{(2i)!}$$

多项式求$ln$

意义？
我们要求将一个集合大小为$n$的方案数，逆向思考
假如我们求出了生成函数$F(x)$，其中$x^i$项的系数表示集合大小为$i$的方案数
我们构造一个函数

$$G(x) = \frac{F(x)}{1!} + \frac{F^2(x)}{2!} + \frac{F^3(x)}{3!} + \dots$$

观察式子发现$G(x)$中$x^i$的系数实际上就是选出若干集合大小刚好为$i$的方案数
假设这个方案数很好求，我们能很快构造出$G(x)$，我们现在要求$F(x)$的话就要使用多项式求$ln$了
观察

$$G(x) = \frac{F(x)}{1!} + \frac{F^2(x)}{2!} + \frac{F^3(x)}{3!} + \dots = e^{F(x)}$$

则

$$F(x) = lnG(x)$$

求法

假如我们要求$G(x) = lnF(x)$
求导得

$$G'(x) = \frac{F'(x)}{F(x)}$$

则

$$G(x) = \int \frac{F'(x)}{F(x)} dx$$

所以我们只需多项式求导，多项式求逆，多项式乘法，多项式积分
复杂度$O(nlogn)$

例题BZOJ3456城市规划